Download de presentatie
1
Inleiding Adaptieve Systemen
Populatiedynamiek en Chaos Inleiding adaptieve systemen
2
Inleiding adaptieve systemen
Inhoud Opkomst van non-determinisme en chaos in de natuurwetenschappen Definities, voorbeelden en eigenschappen: Determinisme, non-determinisme Semi-periodiciteit, chaos De logistieke vergelijking De logistieke vergelijking voor meerdere groepen Lotka-Volterra systemen Chaos in Lotka-Volterra systemen H13 Flake: “controlling chaos” Inleiding adaptieve systemen
3
Inleiding adaptieve systemen
Opkomst van noties als “non-determinisme” en “chaos” in de natuurwetenschappen Inleiding adaptieve systemen
4
Ontwikkeling van de hemelmechanica op één slide
Aristoteles (–384, –322) nam aan dat zware objecten sneller vallen dan lichte objecten. Ptolemaeus (87-150) onderhield een geocentrisch beeld van ons zonnestelsel. Copernicus ( ) beredeneerde (op grond van epicycli en parallax) het omgekeerde. Galilei keek naar Jupiter’s manen en concludeerde dat de aarde rond de zon draait (niet andersom, ). Kepler ( ) benaderde banen van planeten met ellipsen i.p.v. de gebruikelijke cirkels (“perkenwet”). Huygens ( ) kon betere klokken, lenzen, en telescopen maken zodat men beter kon meten in experimenten. Newton ( ) ontdekte de mechanica en gravitatie, om zo te kunnen uitrekenen dat planeetbanen ellipsen zijn. Hanteren van ongetoetste aannamen Logica, deductie, en redeneren Observatie Observatie + modelleren Observatie + modelleren + meten Observatie + modelleren + meten + rekenen → verklaren en voorspellen Inleiding adaptieve systemen
5
Voorspelling komeet Halley
In 1700: Halley maakt lijst van kometen. Eén komeet: 1531, 1607, 1682 In 1758: sterrenkundige Clairaut en wiskundige Mme Lepaute berekenen baan van komeet (moeilijk! – zon, Jupiter, Saturnus) Voorspelling: april 1759 ± één maand Het werd maart 1759 Inleiding adaptieve systemen
6
Mechanistisch- deterministisch wereldbeeld
Oeuvres Vol 7: Introduction à la théorie des probabilités ( ) Mechanistisch- deterministisch wereldbeeld “Een intelligentie die, op een zeker moment, alle krachten die in de natuur werken, en de toestanden van alle elementen waaruit deze is opgebouwd, zou kennen, zou, als ze overigens groot genoeg was om al deze gegevens te kunnen analyseren, in een enkele formule de beweging van de grootste lichamen in het heelal en die van het kleinste atoom beschrijven: niets zou hiervoor onzeker zijn, en de toekomst, net zoals het verleden, zou tegenwoordig zijn in haar ogen. De menselijke geest, die de sterrenkunde zo volmaakt heeft leren beschrijven, vormt een flauwe afspiegeling van zo'n intelligentie.” Na deze succesen dachten natuurwetenschappers dat het universum werkte als een klok en dat alles te voorspellen was. Pierre Simon Laplace ( ) las op 10 Feb 1773 voor de Franse Academie van Wetenschappen een paper voor. Hij beargumenteerde dat als een super-genie (“Intelligence”) op een zeker moment alle posities en snelheden zou kennen, en die gegevens aan de hemelmechanica zou onderwerpen, hij toekomst en verleden op slag voor ogen zou hebben. Hier moet onmiddellijk aan toegevoegd worden dat Laplace’s argument niet principieel maar instrumenteel was. Hij beargumenteerde dat mensen kansrekening nodig hebben, juist omdát het geen genieën zijn. Inleiding adaptieve systemen
7
Inleiding adaptieve systemen
Omkeerbare Systemen De nieuwe wetenschap leidde tot de gedachte dat het universum voorspelbaar is (Genius van Laplace) De mechanische wetten van Newton beschrijven een omkeerbaar systeem. Dit houdt in dat als we de richting van de tijd veranderen, we het verleden en de toekomst omdraaien. Omkeerbare systemen behouden hun energie en daarom kunnen ze doorgaan met hun beweging. Voorbeelden hiervan: Een slingerklok als we wrijving verwaarlozen. Modellering van gas in een discrete CA volgens Navier-Stokes Inleiding adaptieve systemen
8
Fase-diagram van pendule
Klik op plaatje voor applet Inleiding adaptieve systemen
9
Het N-lichamen probleem
Poincaré ( ) Het N-lichamen probleem: geef een wiskundig voorschrift dat beschrijft hoe N hemellichamen om elkaar heen cirkelen. Voor N = 2: Voor N = 3: Animaties: Twee vaste zonnen en één planeet (Harrison) Opmerkelijke drie-lichaams bewegingen (Butikov) chaos Gemeen-schappelijk zwaartepunt Netlogo: N-Bodies Inleiding adaptieve systemen
10
in populatiegroei met één soort en begrensde reserves
Chaotisch gedrag in populatiegroei met één soort en begrensde reserves Inleiding adaptieve systemen
11
Inleiding adaptieve systemen
Populatiedynamiek Idee: Modelleer de grootte en groei van een populatie Probeer, op basis van dat model, te voorspellen hoe de populatie van moment tot moment groeit of afneemt Inleiding adaptieve systemen
12
Voorbeeld: groei wereldbevolking
Inleiding adaptieve systemen
13
Inleiding adaptieve systemen
Soorten groei Onbegrense lineaire groei Onbegrensde exponentiële groei Begrensde groei (S-curve) Cyclisch (goede tijden, slechte tijden) Inleiding adaptieve systemen
14
Wat oorspronkelijk werd gedacht (volgens Flake)
In een deterministisch model van populatie-dynamiek, belandt het systeem uiteindelijk in één van de volgende drie (meta-) toestanden: Stabiele toestand Cyclus Quasi-periodische cyclus Inleiding adaptieve systemen
15
Inleiding adaptieve systemen
Drie eindtoestanden Omvang convergeert naar vaste waarde. Hangt niet af van initiële omvang. Omvang convergeert naar een cyclus. Ook weer onafhankelijk van beginwaarden. Omvang convergeert naar een zg. quasi-periodische cyclus. (Vgl. planeetbanen: geen enkele planeet keert gegarandeerd terug naar dezelfde plek) Inleiding adaptieve systemen
16
Inleiding adaptieve systemen
Quasi-periodiek De functie f(x) = (x + q) mod 2π, met q een rationaal getal (breuk) Continu op de eenheidscirkel (= [0, 2π] met 2π ≡ 0) Niet stabiel Niet periodiek (immers, dan zou kq = mq + n2π, voor zekere n, wat zou impliceren dat q irrationaal is) Niet gevoelig voor minimale wijzigingen in startcondities (dus niet chaotisch) + q } dus quasi-periodiek Inleiding adaptieve systemen
17
Naar een model van populatie-dynamiek
Aannames: Begrensde omgeving. Er zijn eindig veel reserves (voedsel, lucht, ruimte) Welzijn individu huidige generatie bepaalt kans op terugkomst in volgende generatie Inleiding adaptieve systemen
18
Voorbeelden van dynamiek in een begrensde omgeving
Aantal bacteriën op een kweekschaaltje; peil dagelijks Aantal vissen die zwemmen in een vijver; peil maandelijks Aantal bezoekers van een attractiepark; peil maandelijks Inleiding adaptieve systemen
19
Kenmerken van dynamiek in een begrensde omgeving
Er zijn eindig veel reserves (voedsel, ruimte, attracties) Welzijn individu huidige generatie bepaalt kans op terugkomst in volgende generatie Voorbeelden: Hoeveelheid voedsel voor bacteriën Ruimte voor vissen in een vijver Wachtrij-lengte voor bezoekers in een attractiepark Inleiding adaptieve systemen
20
Model voor populatie-dynamiek
Randvoorwaarden: Bij bijna geen bezoekers neem het bezoekersaantal lineair toe: Xt+1 = aXt Als het bezoekersaantal dicht tegen het maximum M aanligt, neemt het bezoekersaantal lineair af: Xt+1 = aXt aM Richtings-coëfficient a Richtings-coëfficient a M Probleem: twee verschillende en onverenigbare modellen voor één fenomeen Inleiding adaptieve systemen
21
Model voor populatie-dynamiek
Nieuw model: parabool met nulpunten (0,0) en (M,0): Xt+1 = (Xt ½M)2 + (½M)2 Bij bijna geen bezoekers neem het bezoekersaantal ~ lineair toe Als het bezoekersaantal dicht tegen het maximum M aanligt, neemt het bezoekersaantal ~ lineair af Daartussen loopt de ene dynamiek (groei) vloeiend over in de andere (afname) Wiskunde: “continu differentieerbaar” ½ M M Inleiding adaptieve systemen
22
Geschaalde groeivergelijking
Dezelfde vergelijking, maar dan geschaald: Xt+1 = 4r Xt (1 Xt ) Populatie-grootte (variabel): 0 Xt 1 Groeifactor r (constant): 0 r 1 1 r 1 r 0 1 Inleiding adaptieve systemen
23
Inleiding adaptieve systemen
Opgave management Voorspel het aantal bezoekers in de komende jaren, als het aantal bezoekers in jaar t+1 gegeven wordt door de vergelijking Xt+1 = (Xt ½M )2 + (½M)2 Dezelfde vergelijking, maar dan geschaald: Xt+1 = 4 r Xt (1 Xt ) Populatiegrootte Xt variabel: 0 Xt 1 Groeifactor r constant: 0 r 1 Inleiding adaptieve systemen
24
Groeifactor 0.25 Convergeert naar nul bezoekers park failliet
Inleiding adaptieve systemen
25
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.3 Inleiding adaptieve systemen
26
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.4 Inleiding adaptieve systemen
27
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.5 Inleiding adaptieve systemen
28
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.6 Inleiding adaptieve systemen
29
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.7 Inleiding adaptieve systemen
30
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.75 Inleiding adaptieve systemen
31
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.8 Inleiding adaptieve systemen
32
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.85 Inleiding adaptieve systemen
33
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.9 Inleiding adaptieve systemen
34
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 0.95 Inleiding adaptieve systemen
35
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor Inleiding adaptieve systemen
36
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor 1.0 Inleiding adaptieve systemen
37
Groeifactor 0.25 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
38
Groeifactor 0.3 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
39
Groeifactor 0.4 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
40
Groeifactor 0.5 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
41
Groeifactor 0.6 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
42
Groeifactor 0.7 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
43
Groeifactor 0.75 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
44
Groeifactor 0.8 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
45
Groeifactor 0.85 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
46
Groeifactor 0.9 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
47
Groeifactor 0.95 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
48
Inleiding adaptieve systemen
Groeifactor Inleiding adaptieve systemen
49
Groeifactor 1.0 (spinneweb)
Inleiding adaptieve systemen
50
• In bijna alle literatuur: r: 1 4 • Flake: r: 1/4 1
Inleiding adaptieve systemen
51
Inleiding adaptieve systemen
Vier eindtoestanden Uiteindelijk stabiel Uiteindelijk periodiek (Uiteindelijk) quasi-periodiek (Uiteindelijk) chaotisch Inleiding adaptieve systemen
52
Inleiding adaptieve systemen
Periodieke punten? Voor dekpunt los op: x = 4rx(1-x) Voor periodieke waarden (mod 2) los op: y = 4rx(1-x) x = 4ry(1-y) Voor periodieke waarden (mod 3) los op: z = 4ry(1-y) x = 4rz(1-z) Inleiding adaptieve systemen
53
Periodieke punten “op zicht”
f f2 f3 f4 Inleiding adaptieve systemen
54
Inleiding adaptieve systemen
Bifurcatie-diagram 1.0 Peri-o-die-ke waar-de groeifactor 0.8 0.85 0.95 1.0 Inleiding adaptieve systemen
55
Bifurcatie: van chaos naar periodiciteit (en terug)
1 2 Uit-rekken: 3 Inleiding adaptieve systemen
56
Feigenbaum’s constante
d∞ … Hetzelfde geldt voor alle één-dimensionale afbeelingen op [0, 1] met één hobbel (zoals de zg. tent map) ! Inleiding adaptieve systemen
57
Chaos is deterministisch
Determinisme: alles is oorzakelijk gedetermineerd. Alles verloopt volgens voorgeschreven wetten. (Genius van Laplace, Einstein’s uitspraak: “God doesn’t play dice.”) Chaos: een perturbatie (willekeurige kleine verandering in startwaarden) zorgt op de lange duur voor totaal ander gedrag Ziet er random uit! Asymptotisch ergodisch: elke bezochte toestand wordt, als je lang genoeg wacht, wel willekeurig dicht benaderd (Eng.: dense orbit) Oneindig veel (labiele) cycli (Eng.: unstable periodic orbit) Non-determinisme: in gebeurtenissen zit altijd een toevalsfactor (cf. quantummechanica). Inleiding adaptieve systemen
58
Is populatiedynamiek voorspelbaar?
Ja: om te weten te komen hoeveel mensen het attractiepark over N jaar bezoeken, itereer je de logistieke vergelijking gewoon N keer. Nee: logistieke vergelijking is gevoelig voor perturbaties (willekeurig kleine veranderingen op beginwaarden) Dus op de computer kun je het nooit uitrekenen (want computers rekenen met eindige precisie). Vraag: hoe zit dat dan met implementaties van arbitrary-precision / bignum arithmetic? Inleiding adaptieve systemen
59
Inleiding adaptieve systemen
Schaduw-lemma Inleiding adaptieve systemen
60
Inleiding adaptieve systemen
Schaduw-lemma Wiskunde: Laat M een Riemann oppervlak zijn en f een diffeomorfisme op M. Laat V een compacte hyperbolische verz. zijn voor f. Dan is er een omgeving U van V zó dat voor elke ε > 0 er een δ > 0 is, zó dat elk δ-traject in U ε-geschaduwd word door een traject van f. Rieman oppervlak: vervormde versie van complexe vlak. Diffeomorfisme: glad & bijectief, en inverse is dat ook. Nederlands: elk berekend traject van f kan willekeurig dicht (ε) worden benaderd (“geschaduwd”) door een zuiver mathematisch traject van f, dat ook in die buurt (δ) start. De functie f, de ruimte M, en de startomgeving V moeten dan wel aan een aantal (redelijke) eisen voldoen. Inleiding adaptieve systemen
61
De logistieke map met r = 1.0 ligt dicht in [0,1]
De rij van 4x(1-x) lijkt overal te komen. Is dat zo? Strict genomen niet: De rij x1, x2, x3, .. is aftelbaar [0,1] is over-aftelbaar Inleiding adaptieve systemen
62
Diagonaal-argument (Cantor)
Bewering: (0, 1) is niet aftelbaar (= niet op een rij te zetten). ?: 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: Stel toch. Dan kunnen we de elementen op een rijtje zetten. Selecteer van getal N het cijfer op de Ne plek. En tel daar 1 bij op. Dit getal komt niet voor in de rij. Tegenspraak met (1). Inleiding adaptieve systemen
63
Inleiding adaptieve systemen
De logistieke map met r = 1.0 ligt dicht in [0,1] De rij van 4x(1-x) lijkt overal te komen. Is dat zo? Strict genomen niet: De rij x1, x2, x3, .. is aftelbaar [0,1] is over-aftelbaar Toch kan bewezen worden dat x1, x2, x3, .. willekeurig dicht bij elk willekeurig punt in [0,1] komt Dat heet: “de rij x1, x2, x3, .. ligt dicht in [0,1]” Een punt x heet een verdichtingspunt van een rij x1, x2, x3, .. als voor elke ε > 0 er een N bestaat zó dat | x – xN | ≤ ε. Er kan bewezen worden dat elk punt uit [0,1] een verdichtings-punt is van x1, x2, x3, .. ! Inleiding adaptieve systemen
64
Groei-dynamiek en chaos met meer dan één variabele
Inleiding adaptieve systemen
65
Logistiek van twee groepen differentie-vergelijkingen
R(t+1) = R(t) + a R(t) – b R(t) F(t) F(t+1) = F(t) + c R(t) F(t) – d F(t) a = Intrinsieke groeifactor van konijnen (i.e., in afwezigheid van vossen) b = Sterftefactor van konijnen dankzij vossen c = Groeifactor van vossen dankzij konijnen d = Intrinsieke sterftefactor van vossen (i.e., in de afwezigheid van konijnen) Inleiding adaptieve systemen
66
Logistiek van twee groepen differentiaal-vergelijkingen
dR(t)/dt = a R(t) – b R(t) F(t) dF(t)/dt = c R(t) F(t) – d F(t) a = Intrinsieke groeifactor van konijnen (i.e., in afwezigheid van vossen) b = Sterftefactor van konijnen dankzij vossen c = Groeifactor van vossen dankzij konijnen d = Intrinsieke sterftefactor van vossen (i.e., in de afwezigheid van konijnen) Inleiding adaptieve systemen
67
Fase-diagram differentiaal-vergelijkingen
Link naar Lotka-Volterra-tool (Pearson Education) Vos-sen Inleiding adaptieve systemen
68
Geen chaos in R2 bij continue systemen (waarom Tron niet chaotisch is)
Een gevolg van de stelling van Poincaré-Bendixson: elk continu-dynamisch systeem zonder dekpunten in een compacte deelverzameling van R2, zal in de limiet een periodiek spoor afleggen. Dus een continu-dynamisch systeem in R2 kan nooit chaotisch gedrag vertonen. Inleiding adaptieve systemen
69
Logistiek van drie groepen
Gezond (H), Ziek (S), en Immuum (I) Triviale stabiele punten: alle toestanden waar niemand ziek is. Als a groot is dan wordt iedereen snel ziek (maar zieke populatie herstelt gegarandeerd). I(t+1) = I(t) + bS(t) H(t+1) = H(t) – aH(t)S(t) S(t+1) = wat er overblijft Als b groot is dan herstelt iedereen snel―wellicht zó snel dat niet heel H ziek wordt. Hier is ook een CA versie van―zie dictaat Inleiding adaptieve systemen
70
Generalizatie naar N groepen
Inleiding adaptieve systemen
71
Populatienivo’s in een groep met drie soorten
Inleiding adaptieve systemen
72
Inleiding adaptieve systemen
Stabiel α = 0.75 : uitdemping naar stabiele toestand (dekpunt) Inleiding adaptieve systemen
73
Inleiding adaptieve systemen
Cyclus α = 1.2 : convergentie naar cyclus met periode 1 Inleiding adaptieve systemen
74
Inleiding adaptieve systemen
Cyclus α = 1.32 : convergentie naar cyclus met periode 2 Inleiding adaptieve systemen
75
Inleiding adaptieve systemen
Cyclus α = : convergentie naar cyclus met periode 4 Inleiding adaptieve systemen
76
Inleiding adaptieve systemen
Chaos α = 1.5 : systeem verloopt naar chaotische toestand Inleiding adaptieve systemen
77
Chaotisch gedrag in een groep met drie soorten
M. Hirsch toonde in 1985 aan dat elke attractor zich bevindt op een oneindig differentieer-baar oppervlak van dimensie N – 1 Inleiding adaptieve systemen
78
Als Cellulaire Automaat
Inleiding adaptieve systemen
79
Inleiding adaptieve systemen
Invloed-stromen Inleiding adaptieve systemen
80
Inleiding adaptieve systemen
Fase-diagram voor CA Inleiding adaptieve systemen
81
Inleiding adaptieve systemen
Samenvatting deterministisch Een deterministisch niet-linear dynamisch systeem kan in de volgende toestanden verkeren Stabiel Expansief (alleen mogelijk in onbegrensde systemen) Periodiek Quasi-periodiek (niet gevoelig voor perturbaties) Chaotisch (gevoelig voor perturbaties, oneindig veel labiele cycli) Chaos is een deterministisch verschijnsel Inleiding adaptieve systemen
82
Inleiding adaptieve systemen
Ongebruikte slides Inleiding adaptieve systemen
83
Inleiding adaptieve systemen
Chaotische processen Drie planeten die om elkaar heen cirkelen (het 3-lichamen probleem). De magnetische pendule. Het biljard van Bunimovich. Populaties met één soort en begrensde reserves (eten) logistieke vergelijking. Lorenz’ waterwiel. Supply chain management. Inleiding adaptieve systemen
84
Beer distribution game
Inleiding adaptieve systemen
85
Modellering van gas volgens Navier-Stokes (discreet)
Discrete variant van Navier-Stokes vegelijking (1823) voor het modelleren van gasdynamiek. Bij botsing wordt momentum bewaard. Modellering in CA met zg. Margolus-omgeving: op even / oneven ticks overlappend rooster Netlogo: Lattice Gas Automaton Inleiding adaptieve systemen
86
Niet Omkeerbare Systemen
Er zijn ook veel systemen waarbij bruikbare energie verloren gaat (thermodynamische systemen) Het is b.v. niet mogelijk om een machine te maken die altijd kan blijven doorgaan zonder dat deze extra energie krijgt Als voorbeeld van een niet-omkeerbaar systeem nemen we een vat met twee helften waarin aanvankelijk alle gasmoleculen in één helft zitten (een geordende toestand) Als we de wand die de helften scheidt wegnemen, dan zal de wanorde van het systeem bijna altijd toenemen Inleiding adaptieve systemen
87
On-omkeerbare systemen
Er zijn 26 = 64 mogelijke deeltjes-configuraties: elk deeltje kan links of rechts zitten. Een paar (A, B) met A + B = 6 heet een toestand. Elke toestand heeft een multipliciteit: bv. Mult(2, 4) = “kies 2 uit 6” = 6!/(4!2!) = 15. Pr(6,0) = 1/64, Pr(5,1) = 6/64, Pr(4,2) = 15/64, Pr(3,3) = 20/64. Normaal ong deeltjes. Pr(“wanorde”) = Pr(“ong. evenwicht”) >> Pr(“ong. één kant”) = Pr(“orde”) Inleiding adaptieve systemen Netlogo: Gaslab Second Law
88
Inleiding adaptieve systemen
Entropie Het is te verwachten dat het systeem naar een evenwicht gaat met de meeste mogelijke realisaties, dus met A = B. Boltzmann definieerde de entropie van het systeem: S = k log P, met P = “kies A uit A+B” Omdat de entropie voortdurend toeneemt en er een toestand is met maximale entropie, zal het systeem uiteindelijk in een evenwicht terecht komen, het systeem is dan dus niet omkeerbaar. Dit leidde tot de twee wetten van de thermodynamica (Classius 1865): De energie van de wereld is constant. De entropie van de wereld gaat naar een maximale waarde. Dit geldt voor gesloten systemen. (Open systemen zoals levende wezens kunnen hun entropie verminderen door bruikbare energie van hun omgeving op te nemen.) Inleiding adaptieve systemen
89
De stelling 4x(1-x)∞ ligt dicht in [0,1]
De tent map (def. door gevals-onderscheiding.) Topologisch geconjugeerd met de logistieke map ( gedragen zich identiek bij iteratie). Van de tent map is makkelijker te bewijzen dat deze, indien geïtereerd met μ = 1, dicht ligt in [0,1] 1 μ 1/2 1 Inleiding adaptieve systemen
90
Inleiding adaptieve systemen
Oorzaak en gevolg X is voldoende voor Y: als X zich voordoet, gebeurt Y ook. X is noodzakelijk voor Y: gebeurtenis Y kan alleen worden veroorzaakt door X. Volgens Daniel Dennett in “The Freedom Evolves”: Niet equivalent: Determinisme “Alles heeft een oorzaak” Ook niet equivalent: Non-determinisme “Niets heeft een oorzaak” Inleiding adaptieve systemen
91
Controle van chaos (Hoofdstuk 13, Flake)
Eigenschappen van elke chaotische attractor: Bezit oneindig veel labiele cycli Hopt van cyclus naar cyclus Het controleren van chaos: Wachten tot een traject in een labiele cyclus terechtkomt Vervolgens het traject licht bijsturen zodat het in de labiele cyclus blijft Twee methoden: De OGY (Ott, Grebogi and Yorke) methode: sturen met discrete “bursts” Pyragas’ continue controle: correctiekracht hangt af van verschil met labiele cyclus Beide methoden vereisen dat de labiele cycli van te voren worden bepaald. Toepassingen: Turbulentie in vloeistofstromingen Magnetisch-mechanische oscillatoren Pacemakers (apparaat om hartritmesoornissen te verhelpen) Inleiding adaptieve systemen
Verwante presentaties
© 2024 SlidePlayer.nl Inc.
All rights reserved.