De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

28 maart 2003 symposium Wim Groen 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 1 1 + 1 = 2, en hoe nu verder? Wiskunde B-dag 29 / 11 / 2002 Prijsuitreiking.

Verwante presentaties


Presentatie over: "28 maart 2003 symposium Wim Groen 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 1 1 + 1 = 2, en hoe nu verder? Wiskunde B-dag 29 / 11 / 2002 Prijsuitreiking."— Transcript van de presentatie:

1 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn = 2, en hoe nu verder? Wiskunde B-dag 29 / 11 / 2002 Prijsuitreiking 17 /3 / 2003 Voorbarige conclusies Vandaag! Aad Goddijn, Freudenthal Instituut

2 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 2 Wat is de W B-dag? Zie : Alle VWOers met WiB12 kennen het wel, de wiskunde B- dag. Ook bij ons op school wordt dit evenement gehouden. Bij ons telt het verslag zelfs voor 20% mee op het examen! Verslag maken over een te voren niet bekende wiskundige opdracht. Het verslag moet je in groepjes van 3 of 4 maken en word nationaal ingeleverd. De 10 beste winnen een prijs. Scholen mogen zelf weten of ze meedoen en of ze er verder nog iets mee doen. (bericht van Douchekop op 22 november) KLOPT BIJNA. HAVO 5 mag ook meedoen.

3 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 3 : In ‘t kort Team-wedstrijd; één dag Onderzoek-gerichte opgave Docenten beoordelen elkaars leerlingen Centrale eindjury Team Fi/Wiskids: Michiel Doorman, Sieb Kemme, Danny Dullens, Henk van der Kooij, Frits Beukers, Jan van de Craats, Aad Goddijn, Leon van den Broek,..... Deelname ’99 - ‘02: 10 – 40 – scholen Dit jaar 540 teams

4 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 4 Ongeveer de helft van de scholen gebruikt de opgave alleen als praktische opdracht en dan vaak op een andere dag dan de wedstrijddag

5 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 5 Opgaven 1999 Mobiel telefoneren volgens Mercuur 2000 Nooit meer een totale zonsverduistering? 2001 Jeep-probleem = 2 En hoe nu verder?

6 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 6 Winnaars

7 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 7 De Jaina Jaina wiskunde en religie: 600 voor Christus in India; met veel belangstelling voor ‘het oneindige’ Anuyoga Dwara Sutra : totaal aantal mensen is Het heelal heeft een periode van jaren = =

8 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 8 Indisch machtsverheffen Bereken als volgt: 2 1, 2 2, 2 4, 2 8, 2 9, 2 18, 2 36, 2 72, 2 73, 2 146, 2 147, 2 294, (12 stappen) Van achteren af de exponenten vinden: deel door 2 als dat kan; trek anders 1 af. Exponenten vormen een optelketen.

9 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 9 Dat kunnen wij ook …. 588, 294, 147, 146, 73, 72, 36, 18, 9, 8, 4, 2, 1 (12 stappen) 588, 294, 147, 98, 49, 48, 24, 12, 6, 3, 2, 1 (11 stappen) ?B?e?w?ij?s? Maken van optelketen voor n, van achteren:

10 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 10 { Optelketen voor n Stijgend rijtje natuurlijke getallen; begin bij 1. Volgende getallen steeds som van twee vorige(n) Eindig met n Voorbeeld: ‘n optelketen voor 30: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 30 (6 stappen) Search: addition chain }

11 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 11 { c(n): Complexiteit van n Elke optelketen heeft een aantal optelstappen (= lengte van het rijtje –1) Complexiteit(n) := aantal stappen van een kortst mogelijke optelketen voor n WBD-OPGAVE: ONDERZOEK c(n) Oefening: Bepaal c(11), c(23), c(77). }

12 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 12 { Belang (onbelangrijk..) Hoge machten uitrekenen in cyclische groepen. a k (mod n) Bij één k voor vele a Cryptografie, beeldcompressie }

13 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 13 Verdubbelingsmethode (binair) Verdubbel zo lang het gaat, vul dan met lagere machten aan: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 576, 584, ? 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 513, 514, 515, 516, 517, 518, 519, 520, 521, 522, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

14 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 14 Zuinig binair 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 578 Álle voorgaande machten zijn nodig bij 31: 1, 2, 4, 8, 16, 24, 28, 30, 31. +, 586 +, 588 +

15 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 15 Lukt ‘zuinig verdubbelen’ bij elk getal N? We gaan nu onderzoeken of je met deze methode alle getallen kan bepalen : Omdat 1, 2 en zo 3, 4 en zo 5,6 en 7 mogelijk zijn en 8 ook, is 8 + (1 t/m 7) ook mogelijk en omdat 16 mogelijk is, is 16 + (1 t/m 15) ook mogelijk. Zo kunnen alle getallen beredeneerd worden als optellingen van machten. (uit een werkstuk) Ja! Bewijs: N= 1, 2, 3, 4. Dat lukt. Dan lukt N = 4 + ( 1 t/m 3) = 5 t/m 7 ook. ……… En dus lukt ‘t bij 1 t/m 8. Dan lukt N = 8 + ( 1 t/m 7) = 9 t/m 15 ook. ……… En dus lukt ‘t bij 1 t/m 16. Enzovoort. (uit een werkstuk)

16 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 16 Wat was c(n)? c(n) is het aantal stappen van een kortste optelketen voor n 1, 2, 4, 8, 16, 20, 22, 23 (7 stappen) c(23) = 7 ?????? Je weet dan eigenlijk alleen: c(23)  7 [c(23) = 6]

17 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 17 Grenzen voor c(n) Grootste bereikbare n in k stappen is 2 k Daaruit volgt 2 log(n)  c(n), voor alle n. 2 k – 1 is bereikbaar (binair) in 2k-2 stappen Daaruit volgt c(n)  2 * 2 log(n)

18 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 18 Grafiek! c(n)  1,45* 2 log(n) Klopt, tot aan n = 71. Met 1,47 i.p.v. 1,45 klopt het voor n < 2500.

19 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 19 Evaluatie

20 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 20 Factoren (1) Naar 11: 1, 2, 4, 8, 10, 11 (5) Naar 7: 1, 2, 4, 6, 7 (4) Naar 77: 1, 2, 4, 8, 10, 11, 22, 44, 66, 77 (9) Geldt nu zeker c( 77) = c(11) + c(7) ?????????? Wel geldt c(a*b)  c(a) + c(b) 1, 2, 4, 8, 9, 17, 34, 43, 77 (8 stappen)

21 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 21 Factoren (2) 1122 = 2 * 561 = 3 * 374 = 11 * 102 = ??????????

22 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 22 Uit een werkstuk. Fout? De optelketen van 63 als je gebruikt maakt van de verdubbelingsmethode is: 1,2,4,8,16,32,48,56,60,62,63 dus C(n)=10 en als je de factormethode gebruikt met factor 3 is 63: 1,2,3,6,12,24,48,60,63 dus C(n)=8. Op de letter gebrekkig, in de geest raak.

23 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 23 Factoren (zoek winst 8 op binair) 2 14 – 1 = = 3 * 5461 = 43 * 381 = 127 * n – 1 Binaire methode: 2*2n – 2 = 4n –2 stappen Factoriseren: 2 2n – 1 = (2 n – 1) (2 n + 1) (2n–2) + (n+1) = 3n - 1 stappen 2 14 – 1 = 16383; n=7. 6 stappen winst 2 18 – 1 = : n=9. 8 stappen winst ( = 511 * 513) ?

24 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn – 1 = 16383: 6 stappen winst, TENZIJ….. Factoriseren (4, winst 8) 2 14 – 1 = = 3 * 5461 = 43 * 381 = 127 * 129 Slimme route naar 127! 8

25 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 25 Computerprogramma’s (1)

26 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 26 Computerprogramma’s (2)

27 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 27 Nee, t was niet waar! Vraag (vermoeden van A, Goulard) Geldt altijd c(2n) = c(n) + 1 ? Is door velen ‘bewezen’: “Van n naar 2n is maar 1 stap.” Al ‘bewezen’ in 1895 door E. de Jonquieres in een gezaghebbend tijdschrift. Tegenvoorbeeld: c(382) = c(191) = 11; (er zijn oneindig veel tegenvoorbeelden.) Wél geldt: c(2n)  c(n) + 1 Bestaat er een n met c(2n) < c(n)?

28 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 28 Rijtjes in een boom Zo vind je 77 na 9 stappen ….. 1, 2, 4, 8, 9, 17, 34, 43, 77 (8 stappen)

29 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 29 Bewering Je kunt je beperken tot optelrijtjes waarin bij elke optelstap het laatste getal gebruikt wordt. Dus: 1, 2, 4, 8, 9, 12, 16, …. mag je vergeten. Mee eens? Kortste keten voor 12509:

30 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn en verder. Nu! Nieuwe toepassingen in cryptografie en beeldcompressie Het berekenen van c(n) is een NP-volledig probleem. (Downey, Leoni en Sehti, Siam. Journ. Coput. 3 (1981), c(n) bekend voor 1 t/m 2 22 ( = ) Voor n  28 geldt c(2 n -1) = n + c(n) – 1 (n = 14: c(16383) = –1 = 18 !!!) Vermoeden van Scholz-Brauer (1937): voor alle n geldt: c(2 n -1)  n + c(n) - 1

31 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 31 Moraal van het verhaal Citaat in werkstuk:

32 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 32

33 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 33 Signalen (1) Veel GEEST: –Inzet, uitgedaagdheid –Onderscheid vermoeden/bewijzen –Zoeken en verfijnen –Vindingrijk –Oog voor subtiliteit Weinig LETTER: –Bewijzen in getalvoorbeeldvorm –Negeren van definities –Nauwelijks (school)algebra

34 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 34 Signalen (2) Winnende leerling na prijsuitreiking: –“Ik snap niet dat ik hier zit. Op school sta ik een 4 gemiddeld en hij ook.” Uit een werkstuk: –Het is best leerzaam om een keer een hele dag aan wiskunde te zitten. Het totaalbeeld word in een keer veel reëler. Het wordt ook duidelijker waar wiskunde nu voor staat en we denken ook datje door dit soort opdrachten meer handigheid in het toepassen van wiskunde krijgt.

35 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 35 Signalen (3) Zelfgekozen Technische middelen: –Excel –php-script –Internet –(Rekenmachine en GR) Ons curriculum geeft wiskunde van toen aan mensen van straks met een agenda van vandaag

36 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 36 Hoe wervend zijn we? Het Parool, 15/3/2003: Eens stond de Nederlandse wiskunde aan de internationale top. Maar die tijd is voorbij. Haakjes wegwerken, breuken onder één noemer brengen: vwo-scholieren kunnen het niet meer, klagen deskundigen. En het aantal wiskundestudenten daalde van vijfhonderd naar honderd.

37 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 37 Waarom wiskunde in VWO? W B-D: Leerling vraagt niet naar toepassing als een probleem uitdaagt. VWO-er kiest voor ‘zich’, niet voor redden van onze kenniseconomie en halen van de internationale top. ‘Vormende waarde’ van wiskunde (nog?) niet meetbaar in de zin van ‘transfer’ oid. Argumenteer-houding overdraagbaar?

38 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 38 Pascal (Blaise): Pas daar mee op. Esprit de géométrie beginselen buiten t dagelijks leven, makkelijk indien eenmaal gezien redeneren gaat bijna onfeilbaar Esprit de finesse: beginselen zichtbaar, vluchtig en talrijk juist inzicht eist scherpe kijk redeneren vaak feilbaar Misverstanden wederzijds

39 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 39 Plato, Timaeus 40,c-d op welke tijden ze [de planeten] dan voor ons verborgen zijn of te voorschijn komen met onheilspellende voortekens voor de toekomst – althans voor mensen die niet kunnen rekenen – dat alles bespreken is zinloos zonder een aanschouwelijke voorstelling ………

40 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 40 Plutarchus (46-120) op Internet According to Plutarch, a priest of Apollo at Delphi, there was another important reason why Apollo exhorted the Greeks to "double the cube," and hence study geometry. Namely, "he was ordering the entire Greek nation to give up war and its miseries and cultivate the Muses, and by calming their passions through the practice of discussion and study of mathematics, so to live with one another that their intercourse should be not injurious, but profitable."

41 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 41 Leerzaam en leuk? Wij vonden het leuk en leerzaam om aan deze wiskunde B-dag mee te doen. Leerzaam, omdat wij veel geleerd hebben over een actueel probleem, wat toch behoorlijk complex in elkaar zit. Leuk, omdat wij eerder een opdracht verwachtten over inzichtszaken (met afstanden e.d) en we toch liever met concrete getallen werken, zoals bij deze opdracht.

42 28 maart 2003 symposium Wim Groen = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 42 Nog even terug naar Douchekop wij zijn al bij 10. als je de antwoorden + formules wil moet je ff mailen. 29 november uur (na sluitingstijd): c(n)ondergrens=2log n c(n)verdubbelingsmethode=2k-2 bij een (n^k)-1 (Wet van Douchekop) alleen 12 hadden wij niet goed uitgewerkt. Helaas. 29 november 2002; uur:


Download ppt "28 maart 2003 symposium Wim Groen 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? aad goddijn 1 1 + 1 = 2, en hoe nu verder? Wiskunde B-dag 29 / 11 / 2002 Prijsuitreiking."

Verwante presentaties


Ads door Google