Tweedegraads & Derdegraads

Presentatie over: "Tweedegraads & Derdegraads"— Transcript van de presentatie:

1 Tweedegraads & Derdegraads
Vergelijkingen Tweedegraads & Derdegraads

2 Vergelijkingen door de eeuwen heen
Babylonië & Egypte ( v.Chr.) De Oude Grieken (1000 v.Chr. – 200 n.Chr.) China 200 – 1200 Indië 200 – 1200 Het Islamitische rijk Rond 750 AD West-Europese wiskunde 1200 – 1700 Moderne wiskunde 1700 – 1900

3 Diophantos (ongeveer 200 - 284)
Grieks wiskundige Diophantos (ongeveer ) De Grieken hebben relatief niet veelgedaan aan algebra. Diophantos behandelde in zijn werk "Arithmetica" stelsels van twee of meer vergelijkingen met meerdere variabelen Geen algemene methode, elke van de 189 problemen die hij beschrijft lost hij op een andere manier op. Voor kwadratische vergelijking gaf een positieve rationale oplossingen

4 Babylonië ( v.Chr.) Zij kenden al in het algemeen een kwadratische vergelijking met één onbekende oplossen. Egypte ( v.Chr.) Oplossen van lineaire vergelijkingen en in sommige gevallen kwadratische vergelijkingen.

5 China 200 – 1200 Liu Hui (, ongeveer 220 - ongeveer 280 na Chr.)
Indië 200 – 1200 Brahmagupta rond 628 kon tweedegraadsvergelijkingen oplossen. Bhaskara beweerde in 1114 dat elk positief getal twee wortels heeft. Ze gebruikten ook irrationale getallen Echter ook zij beschreven alleen de oplossingen van algebraïsche problemen, maar gaven geen bewijzen voor hun methoden. Ze konden niet alle kwadratische vergelijkingen oplossen.

6 Het Islamitische rijk Rond 750 AD van India tot Spanje

7 De wiskundige traditie werd van de negende tot in de veertiende eeuw, door de Arabische taal gedragen De Abbaside dynastie stichtte het Huis der Wijsheid, een soort academie der cultuur en wetenschappen, in de stad Bagdad. De eerste en de belangrijkste Arabische wiskundige is Abdu Allah Abu Jafar Muhammad ibd Musa al-Khwārizmī ( )  Hij schreef het boek Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa-l-muqābala Een van zijn boeken is vertaald naar het latijn en de naam Al Khwarizmi werd daarbij verbasterd tot 'algorismi'. Hieruit is het woord algoritme ontstaan. De titel van zijn boek Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa-l-muqābala,bevat het woord 'al-jabr' (betekent restauratie) dat door latinisering heeft geleid tot ons woord 'algebra'. Dit bevat een bespreking van eerste- en tweedegraadsvergelijkingen, waarbij alles in woorden is beschreven. Hij noemt deze methode van werken met kwadratische vergelijkingen ‘restauratie en confrontatie'. Hij laat zien dat elke kwadratische vergelijking terug te brengen is tot een standaardvorm waaruit vervolgens de oplossingen kunnen worden berekend. Maar gaf alleen de positieve oplossing

8 Alles werd in woorden beschreven (geen wiskundige symbolen)

9 Al khwarizmi is nodig in de klas

10 Al khwarizmi in de klas Merkwaardige producten

11 Een volgende, beroemde wiskundige is Omar Khayyam ( ),die vooral bekend is geworden door zijn poëzie. Hij was vooral geïnteresseerd in het oplossen van derdegraads vergelijkingen en vond daar een meetkundige oplossing voor.

12 West-Europese wiskunde 1200 – 1700
Luca Pacioli ( ) Scipione Del Ferro (Bologna, 6 februari 1465 – aldaar, 5 november 1526). Fior: student van Del ferro. Niccolo Fontana 'Tartaglia' oftewel 'stotteraar' werd genoemd (Brescia, Italië, 1499 of Venetië, 13 of 14 december 1557) was een Italiaans wiskundige die geboren is in Brescia Girolamo Cardano, ook wel aangeduid als Gerolamo Cardano of Geronimo Cardano (Pavia, 24 september 1501 – Rome, 21 september 1576) Lodovico Ferrari heeft wiskunde van Cardano gehad (Bologna, 2 februari aldaar, 5 oktober 1560 of 1565)

13 Luca Pacioli Heeft het boek De Summa Arithmetica geschreven En gold in die tijdals het standaardwerk op het gebied van de wiskunde. In zijn boek komt het werk wal Al Khawarizmi en Alkhayyam voor. Oplossen van 3de graads vergelijkingen is onmogelijk.

14 http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/index.html Niccolo Fontana
'Tartaglia' oftewel 'stotteraar' werd genoemd

15 Los de vergelijkingen op x^3 + 6x = 20
We gaan samen de methode van Fontana nabootsen Wat stelt x^3 voor? De 3 zelfde balken vormen samen een inhoud van 6 x Wat weet van de zijden van de balken? Lukt het om met x^3 en 6x een groter kubus te maken?

16 Noem de grote kubus u^3 en de kleine kubus v^3
Hoe groot is u^3-v^3 Kijk goed naar de balk en druk x en u en v Bekijk een van de balken nog een keer en druk nu de inhoud in u en v en gebruikt die resultaat om u en v uit te drukken Kan jij zien dat u^3-v^3=20

17

18 Tartaglia geeft de volgende procedure voor de oplossing
van x3 + px = q, waarbij de coëfficiënten p en q positief zijn. Stel x = u − v en vul deze in in de vergelijking, dan volgt u3 − v3 + (p − 3uv)(u − v) = q Stel nu p − 3uv = 0 ofwel uv = p / 3, dan volgt u3 − v3 = q. Kwadrateer deze tweede vergelijking en tel er 4 keer de eerste tot de macht 3 bij op, zodat: (u3 + v3)2 = q2 + 4(p / 3)3 = D2, ofwel u3 + v3 = D.Gebruik vervolgens u3 − v3 = q, dan volgt: u3 = q / 2 + D / 2 en v3 = − q / 2 + D / 2. Tenslotte wordt de oplossing:

19 Girolamo Cardano