De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

1212 /n Het meten van radioaktiviteit meet pulsen gedurende meettijd t wat is de kans om n pulsen te meten?wat is de verdelingsfuntie van pulsen? verdeel.

Verwante presentaties


Presentatie over: "1212 /n Het meten van radioaktiviteit meet pulsen gedurende meettijd t wat is de kans om n pulsen te meten?wat is de verdelingsfuntie van pulsen? verdeel."— Transcript van de presentatie:

1 1212 /n Het meten van radioaktiviteit meet pulsen gedurende meettijd t wat is de kans om n pulsen te meten?wat is de verdelingsfuntie van pulsen? verdeel de meettijd t in kleine intervallen  t er zijn van deze intervallen kans op een puls in interval  t is p kans op geen puls in interval is (1  p) er mag maximaal 1 puls kan voorkomen  t moet héél klein zijn kans op n pulsen in N intervallen:

2 1212 /n Poissonverdeling binomiaalverdeling: Poissonverdeling = van de binomiaalverdeling met

3 1212 /n Als we maar 1 meting doen en geen hele serie meetresultaat n standaardafwijking van de losse metingen: Hoe goed is deze benadering?

4 1212 /n Mag ik aannemen dat n ligt met ca. 68% zekerheid in het interval ligt met ca. 68% zekerheid in het interval conclusie: ligt met ca. 68% zekerheid in het interval ligt met ca. 96% zekerheid in het interval

5 1212 /n Opgaven van vorige keer Wat is de kans P n (N) dat de dronken man in exact N stappen op positie n terecht komt? Teken P n (N) als functie van N bij n=10 en p=0.5 (in Origin) Is ? Probeer te berekenen Is het maximum van de kromme?

6 1212 /n Let op P n (N) = kans om op de N de stap op positie n terecht te komen P N (n) = kans om na N stappen op positie n te staan

7 1212 /n Oplossingen Hij moet in de laatste stap vooruit stappen, dus: Kans P n (N) = kans dat hij na N  1 passen op positie n  1 is  kans dat hij de N de pas vooruit stapt dus merk op: P n (N)=0 voor N

8 1212 /n In een plaatje

9 1212 /n Is ? waarbij

10 1212 /n Is ? waarbij q.e.d.

11 1212 /n Wat is ? dus bij n=10 en p=0.5 is

12 1212 /n Wat is ? dus bij n=10 en p=0.5 is

13 1212 /n Lijkt de Poissonverdeling op de Gaussverdeling? Poissonverdeling met  =20 Gaussverdeling met en

14 1212 /n Lijkt de binomiaalverdeling op de Gaussverdeling? Binomiaal- verdeling met N=100 en p=0.2 Gaussverdeling met en

15 1212 /n Limieten van de binomiaalverdeling Binomiaalverdeling neem Poisson: neem noem de staplengte van de dronken man: Gauss: met

16 1212 /n Het probleem van de Gaussverdeling kans op een meting x tussen grenzen a en b : niet oplosbaar schrijf nog steeds niet oplosbaar

17 1212 /n De gereduceerde normale verdeling definieer  (z) heet de gereduceerde normale verdeling d.i. de gewone normale verdeling met en de grenswaarde z a is het aantal keer  dat a van afligt ik kan volstaan met 1 tabel: zie diktaat blz. 69

18 1212 /n Een oefening diktaat blz. 72, opg. 2

19 1212 /n Overzicht van alle zaken tot nu toe

20 1212 /n 2 soorten fouten Fouten systematische fouten toevallige fouten elimineren of voor corrigeren rekenregels

21 1212 /n 2 soorten betrouwbaarheidsintervallen 100% intervallen –notatie: –als iedere(herhaling van de) meting hetzelfde resultaat oplevert 68% intervallen –notatie: –als er toevallige afwijkingen zijn meting herhalen om S p te bepalen

22 1212 /n Notatie van meetresultaten Onzekerheden opgeven met 1 significant cijfer Bij tussenresultaten: 2 significante cijfers Meetresultaat en onzekerheid op dezelfde positie afronden EENHEDEN vermelden

23 1212 /n Rekenregels - foutenvoortplanting 100%-intervallen: gemeten zijn de grootheden berekend wordt de grootheid Algemene regel: Speciale gevallen: f(x 1, …, x n ) = som of verschil van x 1,.., x n absolute onzekerheden optellen f(x 1, …, x n ) = product of quotiënt van x 1,.., x n relatieve onzekerheden optellen partiële afgeleide

24 1212 /n Rekenregels - foutenvoortplanting 68%-intervallen: gemeten zijn de grootheden berekend wordt de grootheid Algemene regel: Speciale gevallen: f(x 1, …, x n ) = som of verschil van x 1,.., x n absolute onzekerheden kwadratisch optellen f(x 1, …, x n ) = product of quotiënt van x 1,.., x n relatieve onzekerheden kwadratisch optellen partiële afgeleide

25 1212 /n Voorwaarden Onzekerheden moeten onafhankelijk zijn Onzekerheden moeten klein zijn Let op: onzekerheden in hoeken in radialen en niet in graden

26 1212 /n Metingen met toevallige afwijkingen kansverdeling: meestal normale verdeling (Gaussverdeling) strooiing van meetresultaten x i rond de werkelijke waarde x w p(x) dx = kans om een meting te doen met resultaat tussen x en x+dx kans om x te meten met a  x  b is

27 1212 /n Verdeling van meetresultaten  veel metingen

28 1212 /n kansdichtheidsfunctie: ca. 68 % van de metingen definities: verwachtingswaarde: algemeen: variantie: standaardafwijking:

29 1212 /n Losse metingen x 1, …, x N theorie: eindig aantal metingen: standaardafwijking van de metingen: S 2 = steekproefvariantie

30 1212 /n standaardafwijkingen standaardafwijking van de losse metingen: standaardafwijking van het gemiddelde: standaardafwijking van de standaardafwijking: standaardafwijking van de standaardafwijking van het gemiddelde:

31 1212 /n De standaardafwijking De standaardafwijking is het 68%-betrouwbaarheidsinterval S = onzekerheid in één meting S m = onzekerheid in het gemiddelde S S = onzekerheid in S S Sm = onzekerheid in S m Merk op: is ONAFHANKELIJK van het aantal metingen N (mits N groot is) hangt WEL af van het aantal metingen want dus

32 1212 /n Het combineren van meetresultaten Gemeten zijn Het gewogen gemiddelde is met gewichtsfactoren De onzekerheid in is

33 1212 /n Kleinste-kwadraten-methode gemeten zijn (x i,y i ) gezocht wordt de lijn ax + b parameters a en b zijn de onbekenden oplossing vind je door te minimaliseren

34 1212 /n Aannames bij de kleinste-kwadraten-methode AannameWat anders? Het veband is lineair Lineariseer het verband Doe een niet-lineaire fit op je laptop Er zitten alleen onzekerheden in y i Verwissel x en y als er alleen maar onzekerheden in x i zitten Anders te ingewikkeld: plot de grootste onzekerheid langs de y-as De onzekerheden in alle y i zijn constant Doe  2 -fit (onzekerheden als gewichtsfactoren) De y i -waarden zijn bepaald uit meetseries Bepaal uit de spreiding van punten rond de lijn

35 1212 /n  2 -fit lineair verband of (voor lijn door de oorsprong) niet-lineair verband minimaliseer  2 m.b.v. a,b,c,… zijn de onbekenden i.h.a. niet analytisch oplosbaar voor willekeurige f(x). Wel voor rechte lijnen en macht- reeksen

36 1212 /n Voorwaarde voor alle fits Neem evenveel fitparameters als onbekenden in het probleem

37 1212 /n Oplossing voor een rechte lijn

38 1212 /n y i -waarden zijn bepaald uit meetseries y i -waarden zijn eenmalig gemeten (= onzekerheid in de meetpunten) (= stooiing van de meetpunten rond de rechte lijn)

39 1212 /n Verdelingsfuncties continue functies p(x) discrete functies P(n) kansdichtheidkans

40 1212 /n Binomiaalverdeling

41 1212 /n Poissonverdeling Opmerkingen: Poissonverdeling krijg je uit de binomiaalverdeling door N  te nemen en Np =  =constant te houden De breedte (  ) van de verdeling wordt bepaald door het gemiddelde  via Bij 1 meting ( n ) ken je die breedte al heel redelijk via voor grote n

42 1212 /n Normale verdeling of Gaussverdeling  is de standaardafwijking

43 1212 /n Gereduceerde normale verdeling definieer  (z) heet de gereduceerde normale verdeling d.i. de gewone normale verdeling met en de grenswaarde z a is het aantal keer  dat a van afligt ik kan volstaan met 1 tabel: zie diktaat blz. 69


Download ppt "1212 /n Het meten van radioaktiviteit meet pulsen gedurende meettijd t wat is de kans om n pulsen te meten?wat is de verdelingsfuntie van pulsen? verdeel."

Verwante presentaties


Ads door Google