Breuken, kommagetallen, procenten, verhoudingen

Presentatie over: "Breuken, kommagetallen, procenten, verhoudingen"— Transcript van de presentatie:

1 Breuken, kommagetallen, procenten, verhoudingen
Gebaseerd op: Tal-team Uitgeverij Wolters-Noordhoff

2 Inleiding Het domein breuken, procenten, verhoudingen en kommagetallen wordt als zeer lastig ervaren. Vaak zien leerkrachten weinig rendement. In de praktijk zie je dan vaak dat er keuzes worden gemaakt m.b.t.: Temporisering Werken in niveaugroepen Werken met minimumdoelen Onderliggend probleem is echter de uitlijning van de leerstof. Het gaat om veel leerstof, dat over een beperkt aantal leerjaren wordt verdeeld. Er wordt dan een tempodruk gevoeld. Hierdoor komt het ontwikkelen van een goede inzichtelijke basis al snel in het gedrang. Het investeren in kerninzichten leidt tot betere resultaten.

3 Inleiding Het Talteam kiest voor differentiatie binnen interactief onderwijs aan de hele groep. Het is dus belangrijk om regelmatig situaties te creëren die leerlingen uitdagen om over moeilijke kwesties na te denken. Het kerndoel: De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. Het Talteam bepleit een aanpak waarbij de nadruk verlegd wordt van ‘kunnen’ naar ‘begrijpen’ Niet alle leerlingen zullen uiteindelijk de leerstof als een vrij formeel systeem van regels en procedures gaan beheersen. Een groot deel van de leerlingen kan wel inzichtelijk met de breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen leren werken, maar alleen op concreet niveau binnen betekenisvolle context en met vertrouwde getallen.

4 Inleiding Het overkoepelende begrip bij het leerstofgebied ‘breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen’ is dat van verhouding. Ook breuken, procenten en kommagetallen beschrijven in zekere zin verhoudingen. Breuken geven de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Procenten geven de verhouding tot een bepaald totaal dat op 100 gesteld wordt. Kommagetallen zijn vaak meetgetallen, die de verhouding aangeven ten opzichte van een bepaalde maat. Het feit dat breuken, procenten en kommagetallen zo dicht bij elkaar staan maakt het mogelijk om bij rekenen in alledaagse situaties van de ene vorm naar de andere over te stappen op een andere en weer terug. Voorbeelden: * bij 75% denken we aan driekwart * 59% is 59 van de 100 * 20 van de 60 herkennen we als 1/3

5 Inleiding Leren rekenen start altijd vanuit concrete, praktische situaties. In het begin van het leerproces hebben getallen nog geen opzichzelfstaande betekenis. Getallen bestaan voor kinderen slechts als benoemde getallen (4 blokjes). Later ontstaat het besef dat 4 erbij 4 altijd 8 oplevert. Ongeacht of het verwijst naar blokjes of ijsjes. Gaande weg leert het kind steeds meer relaties tussen getallen en de getallen krijgen daardoor geleidelijk aan betekenis op zich. Getallen hebben geen directe realtie meer met blokjes. Ook bij breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen moet zich een dergelijk proces ontwikkelen. Ook hier moet de overstap gemaakt worden van benoemde getallen naar opzichzelfstaande, niet benoemde getallen. Het vooraf ontwikkelen van een relatienet is essentieel voor die overstap.

6 Inleiding Sommige leerlingen zullen de overstap niet kunnen maken.
Ze zullen wel eenvoudige opgaven vanuit specifieke relaties die ze kennen kunnen oplossen, maar niet vanuit rekenprocedures. Het is niet nodig dat ze allemaal die overstap maken. Ze moeten wel de gelegenheid krijgen na te denken over de algemene procedures + x : - bij bijv. de breuken. In het leerproces spelen modellen een belangrijke rol. In eerste instantie liggen modellen nog heel dicht bij de contextsituatie (stokbrood; peperkoek) De banketstaaf kan worden voorgesteld als een strook. Die kun je knippen of vouwen. Het latere tekenen van een strook dient ter ondersteuning van het redeneren. Na verloop van tijd kunnen kinderen ook redeneren met behulp van modellen zonder een concrete contextsituatie. Modellen ontwikkelen zich dus langzaam tot opzichzelfstaande hulpmiddelen voor het redeneren over breuken, procenten, verhoudingen en kommagetallen. De band met de concrete situaties blijft echter steeds van belang.

7 Inleiding Bij het werken met concreet materiaal zoals breukenstokken en breukencirkels bestaat de kans dat het aflezen van de relaties de plaats inneemt van het redeneren over relaties. Modellen ontwikkelen zich van modellen van concrete situaties naar modellen voor het redeneren. Tegelijkertijd ontwikkeld zich – gesteund door het gebruik van modellen – een netwerk van getalrelaties. Als zo’n relatienet is gevormd betekent dat dat de modellen op een ander niveau gebruikt kunnen worden. In dit boek wordt de nadruk gelegd op de dubbele strook en de dubbele getallenlijn als model. Deze twee modellen brengen namelijk via twee schalen heel duidelijk de relatie met de grootheid waar het om gaat in beeld.

8 Inleiding Als we leerlingen inzicht willen bijbrengen mogen we ook fundamentele vragen over de functie van breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen niet uit de weg gaan. Voorbeelden van zulke vragen zijn: * waarom gebruiken we naast breuken ook procenten? * Wat is het voordeel van kommagetallen boven breuken? * Wat hebben verhoudingen en breuken met elkaar te maken? * Wat hebben verhoudingen en procenten met elkaar te maken? Het zijn dit soort vragen dat de basis legt voor echt begrip van wat breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen zijn. Dit zijn vragen die je moet gebruiken bij de introductie van deze getallen. Niet achteraf, wanneer de leerlingen al bekend zijn met het onderwerp Het komt er op neer dat we kinderen als het ware kommagetallen en procenten als het ware opnieuw laten uitvinden. We spreken dan van geleid uitvinden.

9 Inleiding Het probleem van differentiatie speelt in dit domein nog meer dan in andere domeinen. Het gevoel van overladenheid heeft vooral te maken met de eisen die we stellen ten aanzien van het formeel redeneren. We zullen verschillen tot op een bepaalde hoogte moeten accepteren en dat betekent dat de doelen van het reken- en wiskundeonderwijs moeten worden bijgesteld. Het uitgangspunt moet zijn dat leerlingen op de basisschool een elementair begrip ontwikkelt van onderwerpen als breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen, maar dat we daarbij tegelijkertijd accepteren dat een aantal leerlingen er alleen binnen concrete situaties mee leert rekenen. Wel moeten we zo veel mogelijk stimuleren het systeem ook op een meer formeel niveau te doorzien. In de bovenbouw stoot men vaak te snel door naar het formele rekenen. Dat leidt er toe dat leerlingen bezig zijn met het inoefenen van rekenregels zonder dat ze begrip hebben van wat daaronder ligt. Er moet gekozen worden voor het centraal stellen van ontwikkelen van inzicht. Dat betekent dat er meer tijd moet worden uitgetrokken voor klassengesprekken, want inzicht ontstaat vooral door gesprekken en discussies. Het gaat dan om de redenering waarop de kinderen hun oplossing baseren

10 Samenhang Breuken, procenten en kommagetallen geven verhoudingen weer.
We spreken van verhoudingen als er sprake is van een lineair verband tussen twee (of meer) getalsmatige beschrijvingen. Lineair (of rechtevenredig) betekent: als het ene getal met een bepaalde factor wordt vergroot of verkleind, dan wordt het andere getal met dezelfde factor vergroot of verkleind. Een dergelijk lineair verband komt vaak voor. Denk aan: * prijs en gewicht * benzineverbruik * ingrediënten * schaalmodel van bijv. een vliegtuig * schaduw In de verhoudingsbeschrijving ‘2 van de 3’ of ‘1 op 32’ worden beide getallen genoemd, terwijl breuken, procenten en kommagetallen de verhouding als het ware samenvatten in één getal. 7/25 meter betekent dat deze lengte en de lengte van een meter zich verhouden als 7/25:1 Zo betekent 0,28 m. ook dat de gemeten lengte en één meter zich verhouden als 28/100:1. Procenten, breuken en kommagetallen willen de verhoudingsgetallen dus op een beknopte manier vastleggen.

11 Samenhang Toen de Egyptenaren rond ongeveer 1700 voor Christus breuken ontwikkeleden, gebruikten ze alleen stambreuken (breuken met steeds 1 als teller). Hieronder staat 1/7 Procenten zijn ontstaan binnen het rekenen met geld. In eerste instantie werd rente en belasting uitgedrukt in een verhouding. Rente kon bijvoorbeeld worden aangegeven als: op iedere 300 dukaten worden 5 dukaten als rente gegeven. Bij invoering van het nieuw belastingstelsel in 1569 werd gesteld dat iedere tiende penning aan de belasting moest worden betaald, dus één op elke tien penningen. Werken met zulke verhoudingsgetallen heeft als nadeel dat het vergelijken van verhoudingen lastig is. Is twee van de drie bijvoorbeeld meer of minder dan drie van de vijf? Om dit probleem op te lossen ging men gebruikmaken van een gestandaardiseerde verhouding door ‘op de honderd’ te gaan rekenen. Het Franse ‘per cent’ werd verbasterd tot ‘procent’, wat staat voor een verhouding waarbij een van de getallen op 100 is gesteld.

12 Samenhang Pas rond 1600 kwam men op het idee van tiendelige breuken. Het voordeel van tiendelige breuken of kommagetallen is dat je er mee kunt rekenen alsof het gewone getallen zijn. Bovendien kun je de verfijning op een eindeloze manier doorzetten: als 3,6 niet precies genoeg is ga je naar 3,64. Het is een mooi, elegant systeem dat de decimale structuur van de gehele getallen doortrekt naar de andere kant. Het is belangrijk dat leerlingen zelf een netwerk van relaties kunnen vormen. Je mag niet te snel de sprong maken naar breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen als opzichzelfstaande, niet benoemde getallen. Kinderen moeten de relaties tussen deze onderdelen zelf ontdekken om te begrijpen waarom op het ene moment voor procenten wordt gekozen en op een ander moment voor breuken. Het is dus een proces van heruitvinden. Om de leerlingen daar de kans toe te geven moeten we ze passende situaties voor leggen.

13 Samenhang Het doel van het leren van breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen is dat de leerlingen een netwerk van getalrelaties ontwikkelen. Een dergelijk netwerk ligt aan de basis van het redeneren over deze onderwerpen. Het is erg belangrijk om leerlingen voldoende getalrelaties te laten verwerven zodat het redeneren – vaak via schattend of globaal rekenen – mogelijk wordt gemaakt. Het werken aan een dergelijk relatienet draagt bij aan het vergroten van getalgevoeligheid van leerlingen. Er zijn waarschijnlijk weinig leerlingen waarvoor 25 geen bijzonder getal is. 25 roept direct relaties op met andere getallen (past 4x in 100; 5x5; ¼ van 100 enz.). Het is goed om na te gaan welke andere bijzondere getallen leerlingen kennen. Wanneer leerlingen op deze manier een netwerk van bijzondere getallen opbouwt, zal blijken dat de relaties uit dit netwerk op allerlei plekken bruikbaar zijn. Breuken, procenten en kommagetallen zijn verhoudingsgetallen die meestal pas betekenis krijgen als duidelijk is waarop ze betrekking hebben. Wat breuken betreft komt dat bijv. duidelijk naar voren op de benzinemeter. De tank is voor ongeveer ¾ gevuld. Hoer ver kun je daarmee rijden? Dat hangt o.a. af van hoeveel benzine er in de tank gaat. De dubbele getallenlijn maken de relaties tussen de liters en de breuken expliciet. Binnen de contextsituatie is het steeds duidelijk waar een breuk, kommagetal of percentage naar verwijst en de situatie helpt de leerling om correcte operaties te kiezen.

14 Samenhang Contextsituatie benzinemeter

15 Kerninzichten verhoudingen
Bij verhoudingen gaat het in de bovenbouw van de basisschool om het redeneren en rekenen met evenredige verbanden. Het is belangrijk dat leerlingen leren herkennen waar sprake is van een evenredig verband en waar niet. Het rekenen met verhoudingen heeft vaak ten doel situaties vergelijkbaar te maken. In dit opzicht is er een grote verwantschap met breuken, procenten en kommagetallen. Bij rekenen met verhoudingen speelt de verhoudingstabel een grote rol. Leerlingen moeten niet alleen met de tabel kunnen werken als hij al gegeven is, maar ze moeten ook kunnen herkennen waar zo’n verhoudingstabel van toepassing is.

16 Kerninzichten verhoudingen
Globale leerlijn verhoudingen Een van de deelleerlijnen betreft de verhoudingstabel. Het gaat hierbij om: introduceren verhoudingstabel; gevoeligheid ontwikkelen voor het herkennen van situaties waarin de verhoudingstabel van nut kan zijn. Ontwikkelen van strategieën voor het handig gebruiken van de verhoudingstabel. Een deelleerlijn die hier heel dicht tegenaan ligt is is die van het gebruik van de verhoudingstabel voor het rekenen met procenten en kommagetallen. Het gaat hierbij zowel om het omzetten van verhoudingen in procenten als het rekenen met procenten. Verhoudingen kunnen worden omgezet in procenten door om te rekenen naar ‘zo veel op de honderd’ (150 van de 750). De verhoudingstabel is ook goed bruikbaar voor het rekenen met procenten als zodanig (hoeveel is 35% van 120) Een andere deelleerlijn betreft verhoudingsgewijs vergelijken. Een belangrijke eerste stap is hier het maken van een verschil tussen absoluut en relatief vergelijken. En als laatste: aandacht besteden aan niet-evenredigheid.

17 Kerninzichten breuken
In het dagelijks leven zijn breuken bijna helemaal verdrongen door kommagetallen. Maar het TAL-team vindt toch dat breuken een plek in het basisonderwijs moeten behouden. Begrip van breuken is immers een belangrijk fundament om procenten en kommagetallen te begrijpen. Ook redeneren mensen nog vaak breukentermen (72% van… is ongeveer ¾ deel van …). Breuken komen voort uit deel- en meetsituaties en hebben in contexten vrijwel altijd het karakter van meet- of verhoudingsgetallen, die verwijzen naar deel-geheelrelaties. Het concept van breuken sluit heel direct aan op de manier van denken van jonge kinderen. Een dropveter delen met een broertje: ieder krijgt de helft. Wanneer we direct beginnen met kommagetallen en procenten beginnen we met verfijning/ een concept van bovenaf. We geven kinderen geen kans om de concepten zelf te ontwikkelen.

18 Kerninzichten breuken
Situaties met breuken kunnen we grofweg verdelen in verdeel- en meetsituaties. Breuken ontstaan wanneer het aantal te verdelen dingen niet gelijk is aan het aantal personen dat een deel wil krijgen of aan een veelvoud van het aantal personen. Breuken komen ook voort uit de behoefte van een fijnere maat. Er zijn nog steeds melkpakjes van een halve liter. En pakjes slagroom van een kwart liter. Verfijnen door steeds te helft te nemen ligt blijkbaar voor de hand. Nu staat er vaak ook hoeveel cl. het is. Vroeger, toen er nog geen decimale maat was, werden maten via allerlei verschillende breuken onderverdeeld. Meten biedt een natuurlijke context voor het ontwikkelen van breuken. Als bij het meten met een strook de hele strook een te grove maat blijkt ligt verfijning door te vouwen voor de hand. Via dubbelvouwen krijg je vanzelf halven, kwarten en achtsten, maar in principe kan een strook ook in derden of vijfden worden verdeeld. Vanuit meten is de notatie met tellers groter dan 1 ontstaan. De stap van stambreuk (1/2; 1/3; ¼ enz.) naar breuken als 2/3; ¾ is groter dan hij misschien lijkt. Vanuit contextsituaties is niet direct behoefte aan zulke breuken, want je kunt heel goed af met ‘2 stukjes van 1/3’. De notatie 2/3 maakt het mogelijk de breuk als een op zich zelf staand getal te beschouwen, dat los staat van het delen of verdelen. De notatie 2/3 heeft een dubbele betekenis: * het weerspiegelt een handeling. Het staat voor 2 stukjes van 1/3 waarbij 1/3 die maat is * staat voor de verhouding ‘2 staat tot 3’ , de relatie tussen deel en geheel.

19 Kerninzichten breuken
Verdeelsituaties bieden een andere ingang voor het ontwikkelen van breuken. Bij verdelen duiken de breuken op verschillende manieren op: * als 3 personen samen iets verdelen krijgt ieder 1/3 * er kan een rest overblijven waarbij iedereen nog recht houdt op een deel daarvan (2 1/3) * het zogeheten ‘eerlijk verdelen’ leidt vanuit een deling tot een breuk: bij 3 pannenkoeken met vieren krijgt iedereen ¾ pannenkoek. Dus 3:4=3/4 Het lijkt verstandig om te kiezen voor een meersporige benadering en zowel meet- als verdeelsituaties met leerlingen verkennen. Ontwikkelen van een relatienet Binnen een contextsituatie zijn breuken altijd het zoveelste deel van iets: * deel van één ding: ¾ van de tank is vol * deel van een verzameling: 2/4 van de kinderen heeft donker haar * deel van een hoeveelheid: er zit nog ¾ van 40 liter in de tank * deel van een maat: ¾ km; ¾ uur Het gaat steeds om deel- heelrelaties. Dat geldt ook voor bijv. 3/2 – een breuk groter dan 1- want in de contextsituatie draait het uiteindelijk om ½ die overblijft.

20 Kerninzichten breuken
Modellen voor rekenen met breuken Strook en getallenlijn. Een kwart van de Nederlandse bevolking. Het betreft hier een verhouding tussen een kwart en het geheel en een verhouding tussen 4 miljoen en 16 miljoen. De strook kan de dubbele relatie goed weergeven. Kinderen vooral met de strook als model goed uit de voeten, omdat ze er gemakkelijk deel-geheel redeneringen in kunnen weergeven. De dubbele getallenlijn is abstracter. Het ‘geheel’ is daar een punt op de lijn. Het feit dat dat punt naar een lengte verwijst (bijv. 1 meter) raakt al snel op de achtergrond. Zeker als het begin van de getallenlijn niet getekend wordt zoals hierboven. De cirkel De tijd van de houten cirkels, die in segmenten is verdeeld ligt ver achter ons. Maar de pizza en de pannenkoek hebben hun plek ingenomen. Het voordeel van een cirkel is het snel kunnen interpreteren van het plaatje. Maar de cirkel gebruiken als denkmodel is moeilijker.

21 Kerninzichten breuken
De globale leerlijn Deelleerlijnen: *Ontwikkelen van breukentaal. Begin groep 6 kennen leerlingen op informele wijze breuken als een half en een kwart. Er wordt gestart met het systematisch exploreren van situaties waar breuken uit voortkomen. Verdeelsituaties leiden tot allerlei verschillende breuken. Een belangrijke stap in het ontwikkelen van de breukentaal is de verzelfstandiging van ‘het zoveelste deel’ tot een maat. Zo spreken we eerst van 1/6 deel van een banketstaaf en later 1/6 banketstaaf. Daarna volgt de uitbreiding van breuken met tellers ongelijk aan één (5/6). Het is van belang dat kinderen zo snel mogelijk los komen van de handeling van het maken en tellen van partjes. Ze moeten breuken gaan zien als beschrijving van deel-geheelrelaties, waarbij 2/5 verwijst naar de verhouding ‘2 van de 5’. De leerling kan zich op basis van die verhouding realiseren dat 2/5 kleiner is dan ½ *Beredenerend gelijknamig maken. Het verdelen wordt ook gebruikt om het gelijknamig maken voor te bereiden. Dit gebeurt via de discussie hoe je bijv. een banketstaaf handig kunt opdelen. In zessen … eerst de helft en dan die helft in drie gelijke stukken. Het onderzoeken van de relaties van delen in zessen, in drieën en halveren bereidt voor op het gelijknamig maken van derden, zessen en halven. *Getalrelaties. Het ontwikkelen van getalrelaties vindt vooral plaats in activiteiten rond het eerlijk verdelen. Het computerprogramma ‘eerlijk verdelen’ is hier goed in te zetten. Maar het is ook erg belangrijk dat in de klas de gebruikte strategieën besproken worden.

22 Kerninzichten breuken
Vervolg deelleerlijn breuken: *Beredeneren van operaties. Bij het opereren met breuken worden twee routes gevolgd: het beredeneren van de operaties en het ontwikkelen van getalrelaties. Voorop staat het ontwikkelen van getalrelaties. Redeneren met breuken leidt tot het ontwikkelen van getalrelaties, maar moet ook een uitweg bieden wanneer lln. geen getalrelaties paraat hebben. Het beredeneerd optellen en aftrekken van breuken bouwt voort op het beredeneert gelijknamig maken. Bij vermenigvuldigen onderscheiden we situaties die gemakkelijk geïnterpreteerd kunnen worden als herhaald optellen en situaties waarbij dat problematisch is. *Aanzetten tot ontwikkelen van procedures. Het meer routinematig uitvoeren van bewerkingen zien we voor een deel van de leerlingen als een mogelijke uitloop.

23 Kerninzichten procenten
Procenten bieden een gestandaardiseerde manier om verhoudingen te beschrijven. Procenten zijn vaste getallen op de schaal 0 tot 100 De schaal 0 tot 100 is niet zo maar gekozen. Het past binnen ons getalsysteem, zodat percentages gemakkelijk om te zetten zijn in kommagetallen. En de schaal is verfijnd genoeg voor de meeste situaties. Hebben we meer verfijning nodig dan werken we met promille. Procenten zijn gemakkelijker met elkaar te vergelijken dan breuken: Wat is meer: 80% of 67% ¾ of 4/5 Bij de introductie van procenten is het gewenst dat de kinderen al vertrouwd zijn met ‘honderdsten’ in gewone breukennotatie. “Een honderdste” moet betekenis krijgen voor de leerlingen. Leerlingen moeten al gewerkt hebben met breuken als 20/100 en 25/100 en moeten kunnen beredeneren waarom deze breuken gelijkwaardig zijn aan 1/5 en ¼ . Het belangrijkste model bij procenten is de strook. Boven de strook worden de percentages geschreven en er onder de corresponderende aantallen, of andersom. Het voordeel van de strook is dat het body heeft, oppervlakte. Voor kinderen is het dan gemakkelijker om in termen van ‘geheel’ en het ‘zoveelste deel’ te praten. De dubbele getallenlijn is abstracter.

24 Kerninzichten procenten
De introductie van procenten gebeurt vaak vanuit kortingspercentages. Een argument daarbij is dat kinderen al bekend zijn met de context ‘korting’. Er wordt dan begonnen met ronde percentages als 10%, 20% en 25%. Bij deze percentages is gemakkelijk een verband te leggen met breuken. De introductie volgens de tweede benadering start met een discussie over de beperkingen van de gewone breuken. Je moet steeds andere breuken met elkaar vergelijken 4/5 en 1/3 enz.. De conclusie is dan dat het handiger is om met één type breuk te werken. Waarschijnlijk komt ook naar voren dat ‘honderdsten’ een verfijndere schaal is dan andere breuken. Deze benadering komt er dus op neer dat het werken met breuken eerst wordt uitgebreid met ‘honderdsten’ en dat de leerlingen de voor- en nadelen van werken met honderdsten verkennen. De procentennotatie wordt daarna geïntroduceerd als een handigere manier van noteren. Het programma ‘breukenstrook’ op rekenweb is goed bruikbaar. Het is belangrijk dat kinderen percentages kunnen omzetten naar breuken en omgekeerd. Ze moeten dat kunnen omdat percentages en breuken in het dagelijks leven vaak naast elkaar worden gebruikt. Ook draagt dit omzetten naar breuken bij aan het vertrouwd raken met de orde van grootte van percentages en dus aan het getalinzicht. Ze kunnen dan bijv. 64% interpreteren als ‘meer dan de helft, maar minder dan tweederde’. De relatie met breuken moet gelegd worden via redeneren. De strook speelt hierbij een grote rol. Door te tekenen leren de kinderen dat 25% de helft is van 50% enz..

25 Kerninzichten procenten
De globale leerlijn: *Wanneer we starten met procenten moeten de leerlingen al vertrouwd zijn met breuken als 1/100; 20/100 enz. *De eerste activiteiten rondom procenten betreffen het omzetten van deel-geheelrelaties of verhoudingen in procenten. Vervolgens wordt de procentenstrook ontwikkeld als het primaire model voor procenten. Deze wordt eerst geïntroduceerd als hulpmiddel om het vergelijken en redeneren rond de orde van grootte te ondersteunen *Percentages nemen. 17% van 360. Dit kan met de procentenstrook. Je laat dan zien hoe je denkt/redeneert. *Twee typen verhoudingstabellen. Er zijn verhoudingstabellen, die deel-geheelrelaties beschrijven (percentage is ‘zo veel op de 100) en verhoudingstabellen waarin één van de getallenrijen percentages weergeeft. Ter verduidelijking: hoeveel is 36 van de 120 euro?

26 Kerninzichten kommagetallen
Kinderen maken al vroeg kennis met kommagetallen. Ze weten dat € 2,45 staat voor 2 euro en 45 eurocent. 0,7 liter op een fles , jouw lengte van 1,54 meter enz.. Binnen dergelijke contexten zijn kommagetallen voor kinderen waarschijnlijk niet meer dan getallen die op een bijzondere manier geschreven worden. Ze zien nog niet dat de cijfers achter de komma zorgen voor een meer precieze beschrijving en ze realiseren zich ook niet dat we in principe onbeperkt door kunnen gaan met cijfers toevoegen. Geldbedragen zijn waarschijnlijk de kommagetallen die de kinderen het vaakste tegenkomen, maar geld is eigenlijk geen goede context als het gaat om de structuur van de kommagetallen. Leerlingen rekenen met geld door de cijfers voor en achter de komma te interpreteren als opzichzelfstaande getallen. Bij geld zie ook nooit €2,4 en het aantal cijfers achter de komma is daar beperkt tot 2. Inzicht in de structuur Wat is groter 1,9 of 1,65 Vaak zullen kinderen kiezen voor 1,65 want 65 is toch groter dan 9. Het weglaten van de 0 op het eind van een kommagetal maakt het zo lastig. Ook de zakrekenmachine laat de 0 bij een optelling weg. We moeten dus vaak getallen vergelijken die een verschillend aantal cijfers achter de komma hebben. Rekenen met kommagetallen zitten vol met procedures. Snappen kinderen waarom bij een optelling de komma’s precies onder elkaar moeten staan (ook bij verschillend aantal cijfers achter de komma)? De procedure voor cijferend vermenigvuldigen met een komma is nog moeilijker te doorzien. Het meer laten oefenen is niet de oplossing. De leerlingen moeten inzicht ontwikkelen in de structuur van de kommagetallen. Het is belangrijk dat de kinderen het verband tussen de kommagetallen en de gewone breuken van tienden en honderdsten blijven zien.

27 Kerninzichten kommagetallen
De globale leerlijn * getalrelaties rond delers van 100 en duizend (20,25,125,250 enz.) vormen de basis voor het handig en inzichtelijk rekenen met kommagetallen. Deze getal relaties kunnen ook in de vorm van deel-geheelrelaties aan de orde komen (driekwart km is 750 meter) * gewone tiendelige breuken. Kommagetallen zijn in wezen gewone tiendelige breuken, die op een specifieke manier geschreven worden. De basis ligt in het rekenen met de gewone breuken met noemers 10, 100 en 1000. Ook kan gekozen worden voor het verbinden van de ervaringen opgedaan in de contexten geld en lengtematen. * Kommanotatie en het rekenen met kommagetallen. Pas wanneer de leerlingen vertrouwd zijn met het rekenen met tienden, honderdsten en duizendste wordt de kommagetalnotatie geïntroduceerd. Beter gezegd: de notatie wordt uitgelegd. Kinderen zijn al met de notatie bekend bij geldrekenen en het metriek stelsel. De stap die hier gemaakt moet worden is die van ‘getallen voor en achter de komma als twee verschillende soorten getallen waarvoor een ruilregel bestaat’ naar ’kommagetallen als een representatie van een systeem van noemers met oplopende machten van 10’ In deze fase wordt het relatienet uitgebreid met relaties met gewone breuken ¼=0,25 enz. Bij het rekenen met kommagetallen wordt vervolgens geruime tijd expliciet gebruik gemaakt van breukbetekenis of maatwisseling. Wanneer de betekenis van kommagetallen doorzien wordt zal het optellen en aftrekken geen probleem zijn. Hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen die als herhaald optellen of herhaald aftrekken gezien kunnen worden. * Rekenen op een zakrekenmachine. Eerst komt het uitvoeren van eenvoudige berekeningen aan bod. Later wordt het rekenen met kommagetallen op de zakrekenmachine ook ingezet voor allerlei toepassingssituaties. Dit omvat onder meer het omzetten van breuken en verhoudingen in kommagetallen via delingen.

28 Differentiatie Differentiatie in de rekenles kan beter worden gerealiseerd door alle leerlingen mee te laten doen aan klassengesprekken, maar wel onderscheid maken bij het zelfstandig werken. Een dergelijke differentiatieopzet kent een aantal elementen: Klassengesprekken. Een of hooguit twee keer per week is er een klassengesprek met de hele groep, gericht op het ontwikkelen van inzicht. We bedoelen hier een discussie met veel inbreng van leerlingen. Vaak zal het startpunt een wat lastiger rekenprobleem zijn, waarbij de aanpak nog niet vastligt. De leerlingen krijgen de tijd om in groepjes naar de oplossing te zoeken en in de discussie daarna worden de aanpakken vergeleken. Het rekenprobleem dienst als aanleiding om kinderen hun inzichten onder woorden te laten brengen. De discussie zorgt er voor dat kinderen hun inzichten aanscherpen of nieuwe ideeën ontwikkelen. Het gesprek moet gericht zijn op de kernideeën en niet op de procedures. Zelfstandig werken. Bij het zelfstandig werken maken de leerlingen niet allemaal dezelfde opgaven. Terwijl de leerlingen aan hun taak bezig zijn kan de leerkracht aparte instructie geven aan een klein groepje. Rekenen op eigen niveau. Belangrijk is dat leerlingen op hun eigen niveau kunnen werken. Zo wel bij klassengesprekken als ook bij zelfstandig werken. Leerlingen die moeite hebben met procenten mogen de opgaven bijv. met de procentenstrook uitrekenen. Van de goede rekenaars mag verwacht worden dat ze het model kunnen gebruiken om hun oplossing uit te leggen.