Metingen met spreiding

Presentatie over: "Metingen met spreiding"— Transcript van de presentatie:

1 Metingen met spreiding
Ik verricht N metingen meetresultaten: theorie: praktijk:

2 Het gemiddelde Hoe goed lijkt het gemiddelde van een meetserie op de werkelijke waarde? Van belang zijn: De spreiding in de metingen (hangt samen met de breedte van de p(x)-kromme) Het totaal aantal metingen N

3 Spreiding in meetwaarden
Spreiding in meetwaarden rond : is onbekend Standaarddeviatie van de losse metingen

4 Herhaling van de meetserie

5 Herhaling van de meetserie
Bij iedere nieuwe meetserie krijg je een nieuw (verschillend) gemiddelde Als de losse metingen Gaussisch verdeeld zijn, zijn de gemiddelden dat ook De verdeling van de gemiddelden is smaller dan die van de losse metingen

6 Verdeling van losse metingen en gemiddelden

7 Verdeling van losse metingen en gemiddelden
theoretisch: praktijk:

8 Theorie vs. praktijk Kansdichtheid
Histogram/(intervalbreedte * aantal metingen)

9 Theorie vs. praktijk gemiddelde: verwachtingswaarde:
standaardafwijking:

10 Theorie vs. praktijk 68% kans ca. 68% van de metingen

11 Het middelen van meetresultaten
kansverdeling voor losse metingen kansverdeling voor gemiddelden Het middelen van meetresultaten hangt niet af van het aantal metingen in de meetserie hangt wel af van het aantal metingen in de meetserie

12 Hoe hangt m af van het aantal metingen?

13 Onzekerheden  is de onzekerheid in een losse meting m is de onzekerheid in een gemiddelde wordt benaderd door wordt benaderd door

14 68%-intervallen  (S) is het 68%-onzekerheidsinterval in een losse meting  is meestal niet bekend S kun je alleen maar bepalen via een meetserie m (Sm) is het 68%-onzekerheidsinterval in het gemiddelde Sm kun je bepalen uit één meetserie

15 Een opgave (tentamen 2000) Een fabrikant maakt kogels voor kogellagers. Wanneer hij ze verkoopt, moet hij natuurlijk de diameter opgeven en de onzekerheid daarin. Hij heeft een partij waarvan bij meting blijkt dat de diameters een normale (Gaussische) verdeling hebben. Omdat hij 68%-betrouwbaarheid niet nauwkeurig genoeg vindt, geeft hij 95%-betrouwbaarheid op (2S-gebied). Om een waarde voor de diameter op te kunnen geven en de onzekerheid, meet hij 10 verschillende kogels zeer precies op. De resultaten van deze metingen zijn: mm. De onzekerheden in deze individuele metingen zijn verwaarloosbaar. Welke waarde geeft hij op voor de diameter van de kogels en wat voor de onzekerheid in de diameter? Geef aan hoe deze waarden worden berekend (formules geven). Hint: de kogels worden los verkocht en iedere kogel moet voldoen aan de opgegeven specificaties.

16 Oplossing De onzekerheid in 1 kogel wordt gegeven door

17 Ingewikkelde manier : 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5.004 4.999 5.001 5.007 4.989 4.998 4.995 0.0041 0.0011 0.0071 49.999

18 Conclusie diameter van de kogels:

19 Iets simpeler manier

20 Iets ‘simpeler’ manier
, maar wel gevaarlijk 5.004 10 4.999 9 5.001 8 7 5.007 6 4.989 5 4 4.998 3 2 4.995 1 AFRONDINGSFOUTEN 49.999

21 Gebruik de toetsen en n-1 van je rekenmachine
Simpelste methode Gebruik de toetsen en n-1 van je rekenmachine

22 Rekenregels voor 68%-intervallen
Algemene rekenregel: gemeten zijn berekend wordt vraag: wat is ? antwoord:

23 Voorwaarden Onzekerheden moeten onafhankelijk zijn
Onzekerheden moeten klein zijn

24 Speciale gevallen optellen van gemeten grootheden:
aftrekken van gemeten grootheden: vermenigvuldigen van gemeten grootheden: delen van gemeten grootheden:

25 Allerlei onzekerheden
is de onzekerheid in één losse meting is de onzekerheid in het gemiddelde is de onzekerheid in is de onzekerheid in

26 Waar is dat nou goed voor?
afronding van meetresultaten Voorbeeld: gevonden wordt We ronden dit af naar Bij wat voor meetserie is dat erg? Het is erg als de afrondingsfout

27 Een opgave (tentamen 2000) In sommige gevallen is een 68%-interval niet nauwkeurig genoeg. Er is immers nog steeds 32% kans dat de werkelijke waarde van de onderzochte grootheid buiten dit gebied ligt. Als alternatief wordt dan ook vaak twee maal de standaardafwijking van het gemiddelde (dus 2Sm) als onzekerheid opgegeven. Dit is dan het 95%-interval. Laat zien dat de algemene rekenregel voor deze 95%-intervallen gelijk is aan die voor 68%-intervallen.

28 Oplossing algemene rekenregel voor 68%-intervallen:
invullen definieer 95%-intervallen:

29 Een opgave (hertentamen 1999)
De grootte van een (onbekende) weerstand R wordt gemeten door er een spanning V over aan te leggen en de stroom I te meten. De aangelegde spanning V is 3 Volt en erg (oneindig) nauwkeurig bekend. De stroom I wordt 10 keer gemeten en er blijkt spreiding te zitten in de meetresultaten. Uit deze metingen wordt berekend Hoeveel metingen moeten extra worden verricht om de weerstand met een relatieve nauwkeurigheid van 5% te kunnen bepalen? Merk op dat we hier 68%-intervallen hebben.

30 Oplossing R wordt berekend via
omdat in V geen onzekerheid zit, wordt de onzekerheid SR in R gegeven door Deze relatieve onzekerheid moet 0.05 (=5%) worden, dus keer zo nauwkeurig . Er moeten dat 1.742=3.03 keer zoveel metingen worden verricht. Dus totaal 31 metingen nodig, dus nog 21 extra metingen.