Constructies Passer & Liniaal, Origami en Meccano

Presentatie over: "Constructies Passer & Liniaal, Origami en Meccano"— Transcript van de presentatie:

1

2 Constructies Passer & Liniaal, Origami en Meccano
Wiskunde D-module Luuk Hoevenaars Hogeschool Utrecht Binnenkort op site Bètasteunpunt Utrecht

3 Opbouw van de Module Eerste helft: Tweede helft: Klassikale lessen
Onmogelijkheid van constructieproblemen Huiswerkopdrachten voor een cijfer Inzet van Geogebra Tweede helft: Groepsopdrachten met eindverslag Keuze uit opdrachten met Origami en Meccano Feedbackpresentaties

4 Zwart is gegeven, rood is nieuw
Spelregels Zwart is gegeven, rood is nieuw 1 2 3 4 5 6

5

6 ✗ ✗ ? ✗ ✗ ? 11 ✗ ✓ ? ! ✗ ✓ ? !

7 Van meetkunde naar algebra
Descartes: coördinaten en vergelijkingen Formules voor lijnen en cirkels Waar liggen coördinaten van snijpunten? Meetkundige rekenmachine: + − × ÷ √ Hebben we gebouwd met macro’s van Geogebra!

8 Gauss: regelmatige 17-hoek (heptadecagon)
Algebraïsche vraag: Welke getallen kunnen worden opgebouwd met + − × ÷ √ ?

9 Noemers wortelvrij maken
De worteltruc Noemers wortelvrij maken Nieuwe constructiestap geeft hooguit 1 nieuwe wortel: met a,b,c minder wortels.

10 Voorbeeld

11 Verdubbeling van de kubus
Feit: is geen breuk. Stel dat construeerbaar is. Aanname: bevat minimaal n verschillende wortels.

12 Verdubbeling van de kubus
a,b,c bevatten maximaal n-1 verschillende wortels. is niet uit te drukken in deze n-1 wortels. Oplossen van : deze is wél uit te drukken in de n-1 wortels?!

13 Verdubbeling van de kubus
Conclusie: Verdubbeling van de kubus met passer en liniaal is onmogelijk! Derdegraads vergelijking x3 =2 niet oplosbaar met tweedemachtswortels...

14 Constructies met Meccano

15 Achtergronden Linkages: Watt, Peaucellier
Meccano, Hornby 1901 (Make and know) Gerard ‘t Hooft: Meccano Math I & II

16 Interessante onderwerpen
Rigiditeit Spelregels + computersimulatie Klassieke constructieproblemen Wat is construeerbaar?

17 Rigiditeit van grafen Rigide Flexibel Minimaal rigide
Niet minimaal rigide

18 De stelling van Laman Graaf met H hoekpunten en Z zijden is minimaal rigide precies als Z = 2H - 3 Z’ ≤ 2H’ – 3 voor elke deelgraaf op H’ punten H = 6, Z = 9 Z = 2H – 3 Maar er zijn “verspilde” zijden... H’ = 4, Z’ = 6 Z’ > 2H – 3

19 Subtiliteit Meccano constructies kunnen niet om elk hoekpunt scharnieren, zijn dus geen grafen... Maar nu wel!

20 Meccano vs. Passer en liniaal
Breuken x p q r

21 Meccano vs. Passer en liniaal
Wortels

22 Meccano vs. Passer en liniaal
Breuken en wortels Meccano

23 Peaucellier linkage Dit is een “Meccano liniaal”, een passer is geen probleem...

24 Driedeling van een hoek (Kempe)
Een gekruist parallellogram. De basishoeken zijn gelijk. Een bissectrice...

25 Driedeling van een hoek

26 Wat is construeerbaar? Maehara (1991): Kempe (1875):
Meccano construeerbare coördinaten zijn precies alle oplossingen van algebraïsche vergelijkingen. Kempe (1875): There is a linkage that signs your name.

27 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ 11 ✗ ✓ ✓ ✗ ✓ ✓