Spelen en Delen Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D

Presentatie over: "Spelen en Delen Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D"— Transcript van de presentatie:

1 Spelen en Delen Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D
Frank Thuijsman juli 2010

2

3 Inhoudsopgave Boekje Een Bankroet Probleem uit de Talmud
Coöperatieve Spelen Rationaliteit en Kennis Spelen in Strategische Vorm Matrixspelen “Huwelijksproblemen” Eindopdrachten Antwoorden

4 Programma vanmiddag Een Bankroet Probleem uit de Talmud
Coöperatieve Spelen Spelen in Strategische Vorm Matrixspelen “Huwelijksproblemen”

5 Een Bankroet Probleem uit de Talmud
Nalatenschap 100 200 300 33.33 50 50 Weduwe 75 100 75 150 Gelijk ??? Proportioneel “Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’ Hoe moet 400 verdeeld worden? Wat als een vierde weduwe 400 claimt?

6 Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300 100 200 300 50 75 100 200 300 33.33 50 75 150 De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200

7 Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300 A 100 33.33 B 200 C 300 100 200 300 A 100 B 200 C 300 De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100

8 Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300 100 200 300 50 150 De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200 300

9 Coöperatieve Spelen Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14
6 7 9 11 14 kosten of winsten verdelen op basis van de waarden van de coalities

10 De Core Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14 (0,0,14) (7,0,7)
6 7 9 11 14 (0,0,14) (7,0,7) (6,0,8) (0,7,7) Leeg (7,7,0) (6,8,0) (14,0,0) (0,14,0)

11 Lloyd S. Shapley A value for n-person games, In: Contribution to the Theory of Games, Kuhn and Tucker (eds), Princeton, 1953

12 De Shapley-waarde Voor coöperatieve spelen is er precies één oplossingsconcept dat voldoet aan de eigenschappen: - Anonimiteit - Efficiëntie - Dummy - Additiviteit De Shapley-waarde Φ geeft elke speler het gemiddelde van zijn marginale bijdragen

13 De Shapley-waarde Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14
6 7 9 11 14 Marginale bijdragen A B C A-B-C A-C-B B-A-C B-C-A C-A-B C-B-A Som: Φ: 6 3 5 6 3 5 2 7 5 3 7 4 4 3 7 3 4 7 24 27 33 4 4.5 5.5

14 David Schmeidler The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal of Applied Mathematics 17, 1969

15 De Nucleolus Ø Ø Ø Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6-x 7-x 9-x 11-x 14 S A
6-x 7-x 9-x 11-x 14 S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 4 5 7 9 14 S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 6-2 7-2 9-2 11-2 14 S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14 (0,0,14) De Nucleolus Φ = (4, 4.5, 5.5) Leeg (4,5,5) de nucleolus (14,0,0) (0,14,0)

16 Talmud-spelen (0,0,100) 100 200 300 A 100 33.33 50 B 200 75 C 300 150 de nucleolus (100,0,0) (0,100,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100

17 Talmud-spelen (0,0,200) 100 200 300 33.33 50 75 150 (200,0,0) (0,200,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200

18 Talmud-spelen (0,0,200) 100 200 300 33.33 50 75 150 de nucleolus (200,0,0) (0,200,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200

19 Talmud-spelen (0,0,300) 100 200 300 33.33 50 75 150 (300,0,0) (0,300,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200 300

20 Talmud-spelen (0,0,300) 100 200 300 33.33 50 75 150 de nucleolus (300,0,0) (0,300,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200 300

21 Een Bankroet Probleem uit de Talmud
Nalatenschap 100 200 300 33.33 50 50 Weduwe 75 100 75 150 “Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’ Hoe moet 400 verdeeld worden? Wat als een vierde weduwe 400 claimt?

22 De Oplossing Een andere Mishna uit deTalmud luidt:
“Twee houden een kleed vast; de een claimt het hele kleed, de ander claimt de helft. Dan krijgt de een 3/4, de ander 1/4.” Baba Metzia 2a, Fol. 1, Babylonian Talmud, Epstein, ed, 1935

23 Consistentie 100 200 300 33.33 50 75 150 samen 125 100 50 200 25+50 samen 125 100 200 25 samen 125 100 200 De één claimt 100, de ander alles dus 25 is voor de ander; de rest (100) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft

24 Consistentie 100 200 300 33.33 50 75 150 100 200 300 33.33 50 75 150 samen 66.66 100 33.33 300 Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft

25 Consistentie 100 200 300 33.33 50 75 150 samen 250 100 200 50+100 samen 250 200 300 50 samen 250 200 300 De één claimt 200, de ander alles dus 50 is voor de ander; de rest (200) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft

26 Marek M. Kaminski ‘Hydraulic’ rationing,
Mathematical Social Sciences 40, 2000

27 Communicerende Vaten 50 100 150 50 100 150

28 Communicerende Vaten: 100
33.33 33.33 33.33

29 Communicerende Vaten: 200
75 75 50

30 Communicerende Vaten: 300
150 100 50

31 Communicerende Vaten: 400
125 225 50

32 Communicerende Vaten: 400 voor 4
125 125 100 50

33 Spelen in Strategische Vorm
Nash-evenwicht voor een n-persoons spel: Een n-tal strategieën, voor elke speler één, met de eigenschap dat voor elke speler zijn strategie een beste antwoord is tegen de strategieën van de anderen.

34 “A Beautiful Mind” Reinhard Selten John F. Nash John C. Harsanyi
1994: Nobelprijs Economie Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54, 1951

35 Evenwicht in een Bimatrixspel?
Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 1-p p 1-q q “gemengde acties” “verwachte uitbetalingen”

36 Evenwicht in een Bimatrixspel?
Verwachte uitbetaling: Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 4(1-q) = 4-4q -(1-q)+5q = -1+6q 1-q q Als q = 0.5, dan geldt 4-4q = -1+6q, en dan is Boven even goed als Onder voor speler 1. De verwachte uitbetaling voor speler 1 is dan 2, ongeacht of hij Boven of Onder kiest.

37 Evenwicht in een Bimatrixspel?
Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 1-p p Verwachte uitbetaling: 3p 3(1-p) Als p = 0.5, dan geldt 3p = 3(1-p), en dan is Links even goed als Rechts voor speler 2. De verwachte uitbetaling voor speler 2 is dan 1.5, ongeacht of hij Links of Rechts kiest.

38 Evenwicht in een Bimatrixspel!
Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 0.5 0.5 0.5 0.5 een “gemengd” evenwicht met (verwachte) uitbetaling (2, 1.5)

39 Matrixspelen Speler 2 Speler 1 4,-4 0,0 -1,1 5,-5

40 Matrixspelen 1-p p 4-5p 5p Speler 2 Speler 1 4 -1 5
-1 5 1-p p Verwachte uitbetaling: 4-5p 5p 5 4 p 1 -1

41 Matrixspelen 1-p p 4-5p 5p Speler 2 Speler 1 4 -1 5 5
-1 5 1-p p 4-5p 5p 5 Speler 1 wil p zo kiezen dat het minimum van 4-5p en 5p maximaal is. Bij p = 0.4, minimum 2. 4 2 p 0.4 1 -1

42 Matrixspelen 4-4q -1+6q 1-q q Speler 2 Speler 1 4 -1 5 5
-1 5 4-4q -1+6q 1-q q 5 Speler 2 wil q zo kiezen dat het maximum van 4-4q en -1+6q minimaal is. Bij q = 0.5, maximum 2. 4 4-4q -1+6q 2 q 0.5 1 -1

43 het maximum van de minima = 2 = het minimum van de maxima
De Waarde van het Spel het maximum van de minima = 2 = het minimum van de maxima 5 5 4 4 4-4q -1+6q 2 2 p q 0.4 1 0.5 1 -1 -1

44 De Minimax-stelling John von Neumann, 1928
Voor elk matrixspel bestaat er een getal v, de waarde, en optimale strategieën x en y, zodat x aan speler 1 een uitbetaling van minstens v en y aan speler 1 een uitbetaling van hoogstens v garandeert. In andere woorden: Voor elke matrix A geldt: max min xAy = min max xAy x y y x

45 Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944
John von Neumann Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944

46 Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944

47 Het Oplossen van (Bi-)Matrixspelen
Matrixspelen kunnen opgelost worden m.b.v. lineair programmeren; bijv. met de simplexmethode. De minimax-stelling kan bewezen worden met de dualiteitsstelling van lineair programmeren. Voor bimatrixspelen kunnen evenwichten gevonden worden d.m.v. een pivoting algoritme dat lijkt op de simplexmethode.

48 “Huwelijksproblemen”
1 2 3 4 5 Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly Emmy 1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly Gerry Harry Kenny Lenny

49 “Huwelijksproblemen”
1 2 3 4 5 Anny Freddy Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly 1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Dolly Gerry Kenny Lenny

50 “Huwelijksproblemen”
1 2 3 4 5 Anny Freddy Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly 1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Gerry Dolly Kenny Lenny

51 “Huwelijksproblemen”
David Gale Lloyd S. Shapley College admissions and the stability of marriage, American Mathematical Monthly 69, 1962

52 “Huwelijksproblemen”
1 2 3 4 5 Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly Emmy 1 2 9 3 4 6 7 8 5 1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly Gerry Harry Kenny Lenny 1 7 8 2 5 4 9 3 6

53 “Huwelijksproblemen”
Gale-Shapley algoritme: Geeft de beste stabiele koppeling voor de “aanzoekers” Ook toepasbaar wanneer de groepen niet even groot zijn Ook wanneer niet elk aan elk gekoppeld wil worden Ook toepasbaar voor “college admissions”

54 Hartelijk Dank voor Uw Aandacht!

55 ?

56 ?