De stelling van pythagoras

Presentatie over: "De stelling van pythagoras"— Transcript van de presentatie:

1 De stelling van pythagoras
Door: Stefan Timmers

2 Wie was Pythagoras? Pythagoras van Samos was een Griekse filosoof
Hij is geboren op het Griekse eiland Samos rond 570/580 vóór Christus. In het jaar 529 vóór Christus heeft hij in Italië zijn eigen school opgericht waar hij aan volwassenen filosofie en wiskunde doceerde. In Crotona is hij gestorven rond 497 vóór Christus. Hij hield zich, naast de filosofie, ook veel bezig met de wiskunde en de astronomie. Voor de wiskunde heeft hij "De stelling van Pythagoras" bedacht.

3 De Stelling Stelling: Voor een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden lengte a en b hebben en de schuine zijde lengte c, geldt de relatie: a^2 + b^2 = c^2.

4 Voorbeeld 1 Neem a = 4 Neem b = 3 Wat is dan c? a^2 + b^2 = c^2
Dus 4^2 + 3^2 = c^2 c^2 = 25 c = 25 = 5

5 Voorbeeld 2 Neem b = 7 Neem c = 25 Wat is dan a? c^2 – b^2 = a^2
Dus 25^2 – 7^2 = a^2 a^2 = 576 a = 576 = 24

6 Bewijs van de stelling 1 In de figuur is de driehoek getekend, met het vierkant met zijde c grenzend aan de schuine zijde. Aan elk van de zijden van het vierkant is de driehoek getekend, zodat een groot vierkant ontstaat met zijde a + b. Er geldt nu: Oppervlakte vierkant = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 en Oppervlakte vierkant = 4(½ab) + c^2 = 2ab + c^2 dus a^2 + b^2 = c^2

7 Bewijs van de stelling 2 a = |BC|, b = |AC| en c = |AB|. We tekenen uit A de hoogtelijn op [BC] en noemen het snijpunt D. a1 = |CD| en a2 = |DB|. (Hierdoor is a = |CB| = |CD| + |DB| = a1 + a2.) B^2 = a1.a    en   c^2 = a^2.a Als we nu de linker- en de rechterleden optellen, dan krijgen we: b2 + c2 = a1.a + a2.a = (a1 + a2).a = a.a = a2

8 Bewijs van de stelling 3 De oppervlakte van de beide verschillend blauwe driehoeken is gelijk aan ab (zie de figuur onder). De oppervlakte van het kleine (gele) vierkant is gelijk aan (a - b)^2. Nu is duidelijk dat c^2 =(a - b)^2+2ab= a^2-2ab+b^2+2ab= a^2+b^2